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Full text of "Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, professées à l'École normale supérieure. Rédigées par Maurice Fréchet. Avec des notes par Paul Painlevé et Henri Lebesgue"



iCTION DE MONOGRAIMJIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS 

rUBlIÉB 80.U8 LA DltlKQTION DE U. EMILE BORBL. 



'AD 



=C0 



LEÇONS SUR LES FONCTIONS 



VARIABLKS RÉELLES 

ET LES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE POLYNOMlilS, 

PROFESSÉES A L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 



PAR 



EMILE BOREL, 

ET RÉDIGKKS PAR MAURICE FRÉCHET, 



AVEC DKS NOTES 



Par Paul PAINLEVÉ et Henri LEBESGUE, 




PARIS, 

GAUTIIIER-VILLARS, LM PRIMEUR-LIBRAIRE 

)\I DUREAU DES LONGITUDES, DR l'JÈCOLE POLYTECHNIQUE, 
Quai des Grands-Augustins, 55. 

1903 



PRESENTED 



by 



PROF. W.J. WEBBER 
1976 



? 



JAN 2 5 1977 > 



LEÇONS SUR LES FONCTIONS 

DE VARIABLES RÉELLES 

ET LES DÉVELOPPEMENTS EN SÉUIES DE POLYNOMES. 



LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS. 



COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THEORIE DES FONCTIONS, 

PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M. EMILE BOREL. 



Leçons sur la théorie des fonctions {Eléments de la théorie des 

ensembles et applications), par M. Emile Borel, 1898 3 fr. 5o 

Leçons sur les fonctions entières, par M. Emile Borel, 1900 3 fr. 5o 

Leçons sur les séries divergentes, par M. Emile Borel, 1901 4 fr. 5o 

Leçons sur les séries à termes positifs, professées au Collèi;e de 
France par M. Emile Borel et rédigées par M. Robert d'Adhémar, 
1902 3 fr. 5o 

Leçons sur les fonctions méromorphes, professées au Collège de 

France par M. Emile Borel c-t rédigées par M. Ludovic Zoretti, i<)o3. 3 fr. 5o 

Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primi- 
tives, professées au Collège de l'^ranco |)ar M. Henri Lebesgue, 1904. 3 fr. 5o 

Leçons sur les fonctions discontinues, professées au Collège de 

France par M. René Baire et rédigées par M. A. Denjoy, igoS 3 fr. 5o 

sous presse : 
Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, par 

M. ErNST LiNDELiJF. 

EN PRÉPARATION : 

Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plu- 
sieurs variables complexes, par M. Pierre Cousin. 

Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe, par 
M. JvMii.i; BdHKL. 

Leçons sur les correspondances entre variables réelles, par M. Jules 
Drach. 

Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini, par 
M. Otto Bi.umentiial. 

Leçons sur les séries trigonométriques, par M. IIknri Lebesque. 



COLLECTION DE MONOGHAPflIES SUK LA THÉORIE DES FONCTIONS 

PUBLIÉE SOUS LA DIHKCTION DL M. KMILK IJ0IU;L. 



LEÇONS SUK LES FONCTIONS 

DE VARIABLES RÉELLES 

ET LES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE POLYNOMES, 

PROFESSÉES A L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 

PAU 

Emile BOREL, 

ET RÉDIGÉES PAR MAURICE FRÉCHET. 

AVEC DKS NOTES 

Par Paul PAINLEVÉ et Henri LEBESGUE. 




PARIS, 

GAUTHIEU-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l' ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 

Quai des Grands-Augustins, 55. 

1905 

(Tous droits réserves.) 



UNIVERSITY OF TORONTO 
DEPL OF MATHEMATICS 

I IRRAPY 



PRÉFACE. 



Co petit Volume a été rédigé par M. Maurice Fréchet, d'après 
lin cours que j'ai fait à l'École Normale, pendant le semestre 
d'hiver t9o3-i()o4; ce cours était consacré aux séries de po- 
lynômes; on ne trouvera ici cpie la partie relative aux variables 
réelles; j'espère développer et publier ultérieurement la partie 
relative aux variables complexes. D'ailleurs, comme il arrive 
souvent, la distinction entre variables réelles et variables com- 
plexes ne peut pas toujours être laite d une manière précise; il y 
a des domaines mixtes; les belles méthodes de M. Painlevé, no- 
tamment, devaient être mentionnées à la fois à propos des va- 
riables réelles et à propos des variables complexes. A l'aide de la 
représentation conforme, c'est-à-dire d'une méthode du champ 
complexe, M. l^ainlevé est en effet tout d'abord arrivé à des 
résultats du j^lus haut intérêt dans le champ réel (intégration des 
é(|uations de la Mécanique et de l'Astronomie) pour retourner 
enfin au champ complexe et y étendre les résultats obtenus pour 
le champ réel. On trouvera l'exposition synthétique de ces mé- 
thodes dans une Note que M. Painlevé a bien voulu rédiger; je 
tiens à lui exprimer mes vifs remercîments pour cette marque 
d'amitié; tous les mathématiciens seront heureux de trouver ici 
la démonstration des résultats si remarqués que M. Painlevé avait 
énoncés dans les Comptes rendus. 

Je dois adresser aussi mes remercîments à M. Lebesgue qui, 
non seulement a écrit une Note des plus importantes, mais a bien 
voulu lire entièrement les épreuves et me faire de nombreuses 



VI PRKIACE. 

observations, judicieuses et profondes, qui m'ont été souvent très 
utiles. Enfin, je ne dois pas oublier M. Maurice Fréchet, qui a 
apporté tous ses soins à la rédaction et à la revision des épreuves. 
Il a nolamment mis au point quelques démonstrations dont j'avais 
seulement indiqué la marche générale. 

Ce Volume est le sixième de ceux que j'ai publiés sur la Théorie 
des fonctions'^ il est le huitième de la Collection de Monogra- 
phies dont M. Gauthier- Villars a bien voulu me confier la direc- 
tion et dont on voudra bien m'excuser de dire ici quelques mois. 

Tout d'abord, bien qu'il soit devenu banal de parler de l'accueil 
excellent que reçoivent à la maison Gautliier-Yillars toutes les 
publications scientifiques, je considère comme un devoir de men- 
tionner ici toute la part qui revient à M. Gauthier- Villars dans la 
création de cette Collection et dans la manière dont elle est pré- 
sentée au public. 

Comme je l'ai dit dans la Préface du premier de ces Volumes, 
il m'avait semblé qu'il j avait place, entre les Traités d'Analyse 
et les Mémoires originaux, pour des publications moins étendues 
que les Traités et plus accessibles que les Mémoires. Une telle 
forme de [)ublication me paraissait éminemment de nature à favo- 
riser la recherche et l'événement n'a [)as déçu mes espérances. 
J'ai été ainsi encouragé à continuer ces publications et, ne pou- 
vant traiter toutes les parties de la Théorie des fonctions, à 
«n'adjoindre des collaborateurs. Ceux dont on a pu lire les noms 
à la page précédente sont assez connus pour qu'il n'j ait pas lieu 
de les présenter au j)ul)lic nialhéniatique. Chacun d'eux a choisi 
son sujet; car, pour (pie cette Collection conserve le caractère 
vixant (pi'oii a bien voulu généralement lui reconnaître, il a [laru 
nécessaire de ne pas découper arbitrairement la science en mor- 
ceaux dont chacun serait attribué à un auteur, mais de laisser 
chaque auteur déterminer lui-même le cadre dans lequel il pour- 
rail h' plus aisiMucnt dévclop[)er sa pensée : sous la seule réserve 



PIUÎFACi:. VII 

d'éviter qu'un Volume fasse double emploi. Mais il a parii préfé- 
rable d'admcLLre parfois quelques brèves redites philot que de 
renoncer à l'indépendance des Volumes de la Colloclion, clwicun 
d'eux devant pouvoir être lu isolément par un lecteur ayant des 
connaissances générales d'Analyse. Sans ce principe d'indépen- 
dance, on aurait eu tous les inconvénients d'un irrand Traité, 
sans en avoir les avantages. 

Je ne pense pas qu'il j ait lieu de justifier, auprès des lecteurs 
habituels de cette Collection, l'intérêt primordial qui s'attache à 
la Théorie des fonctions, qui est la base de l'Analyse moderne. 

A ceux qui penseraient que cette Théorie s'éloigne trop de la 
pratique pour conserver de l'intérêt dans un siècle où les applica- 
tions prennent de plus en plus d'importance, je me permettrai de 
signaler, en particulier, dans ce Livre, les quelques pages consa- 
crées à l'interpolation (p. "^3 à 92). Ils reconnaîtront, je pense, 
que les recherches, en partie nouvelles, qui s'y trouvent exposées 
et qui sont basées sur les parties les plus modernes de la Théorie 
des fonctions, sont susceptibles d'applications presque immé- 
diates à des questions pratiques de natures très diverses. Il y a, ^ 
il est vrai, bien des parties de la théorie moderne des fonctions 
dont la portée pratique n'apparaît pas immédiatement; mais, 
outre l'intérêt qui s'attache à leur beauté propre, qui nous assure 
que cette portée n'apparaîtra pas un jour? Pourquoi limiter arbi- 
trairement le champ des Mathématiques que l'on juge suscep- 
tibles d'applications? 

Enfin, en terminant cette déjà trop longue Préface, je crois 
devoir faire remarquer que, sur les six Volumes (|ue j'ai publiés 
dans la Collection, quatre ont été rédigés d'après des Leçons 
faites à l'Ecole Normale supérieure. 

Si j'ai pu organiser à l'Ecole cet enseignement, c'est grâce à 
l'esprit libéral de l'administration, et particulièrement du sous- 
directeur de la Section scientifique, M. Jules Tannery, toujours 



VIII PRÉFACIJ. 

plus préoccupé d'encourager les initiatives qu'il juge bonnes que 
de faire strictement observer la lettre des règlements. Au nom de 
M. Jules Tannery je tiens à associer ceux de tous les autres mathé- 
maticiens à côté desquels j'ai eu l'honneur et le plaisir d'enseigner 
à l'École : M. Goursat, M. Painlevé et M. Hadamard. Car c'est 
seulement grâce à la collaboration amicale de collègues unique- 
ment guidés dans leurs rapports mutuels par le désir de tout 
organiser au mieux des intérêts des élèves et de la Science qu'il 
a pu être possible de trouver la place de ce nouvel enseignement. 
C'est pour moi un agréable devoir de rendre publiquement ce 



témoignage. 



Saint-Paul-des-Fonts ( Aveyron), i5 août 1904. 



INDEX. 



Pa^es. 

GiiAP. J, — Notions générales sur les ensembles i 

GiiAP, n. — Notions sur la continuité 23 

Ghap. llf. — Séries de fonctions réelle? 36 

GiiAp. IV. — Représentation des fonctions continues 5o 

Ghap. Y. — Représentation des fonctions discontinues 93 

Note de M. Paul Painlevé lor 

Note de M. He^ri Lebesgue i49 

Note de M. Emile Borel i30 

Table des Matières ï^q 



LEÇONS SUR LES FONCTIONS 

DE VARIABLES RÉELLES 

ET LEUR REPRÉSENTATION 

PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES. 



CHAPITRE I. 

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ENSEMBLES. 



Puissance d! an ensemble. — L'idée d'ensemble est une notion 
primitive dont nous ne donnerons pas de définition (^). Citons 
seulement quelques exemples d'ensembles : l'ensemble des points 
d'une droite, l'ensemble des polynômes en .r, l'ensemble des 
surfaces minima, etc. 

On peut raisonner sur les ensembles sans s'occuper de la nature 
des objets qu'ils contiennent. Lorsqu'un ensemble est fini, on est 
ainsi amené à distinguer, parmi les propriétés abstraites de cet 
ensemble, le nonibi\ des objets qu'il contient. Deux ensembles 
finis contiennent chacun le même nombre d'objets si, à tout 
élément de l'un, on peut faire correspondre un élément de l'autre 
et réciproquement. SUl en est encore ainsi pour deux ensembles 
QUELCONQUES E, E< , nous dirons avec M. Cantor que E a même 
PUISSANCE que E, . Nous pouvons maintenant nous proposer de 
comparer, au point de vue de la puissance, un ensemble quelconque 
à quelques ensembles qui nous sont familiers et que nous pren- 
drons pour types. 



(') Voir, pour la discussion de l'idée d'ensemble, Emile Borel, Leçons sur la 
théorie des Fonctions, Chapitre I et Notes. (Paris, Gaulhicr-Villars.) 

E. B. I 



2 CHAPITRE I. 

Ainsi un ensemble E qui a même puissance que l'ensemble 
des nombres enliers : i, 2. 3, .... n. .... est un ensemble dé- 
nombrable. Si E a même puissance que Tensemble des nombres 
compris entre o et i (limites comprises), on dira que E a la 
puissance du continu. 

Donnons des exemples de Tun et de l'autre cas. Un ensemble 
de nombres : ?/,„„,„,,... .,«1 q^»' ^^ distinguent par la suite de leurs 
k indices entiers /n,. . . ., nik est un ensemble dénombrable. Il 
suffit, pour le voir, de montrer que Ton peut ranger ces nombres 

dans l'ordre 1 , 2, ...,/? de façon à les obtenir tous, chacun 

une seule fois. Pour cela, considérons tous ceux de ces nombres 
dont la somme des indices est égale à /?. Il v en a un nombre fini, on 
peut donc les numéroter. Si l'on opère ainsi pour/? == i . /? ^1. . . . , 
on pourra les numéroter tous à partir de i . 

Ainsi les nombres rationnels —forment un ense/nble dénom- 
brable, car u p^q = — est bien déterminé par les indices entiers/? 

et q (' ). 

De même, ou peut démontrer (-) que Venscmble des points 
compris dans un carré de côté égal à 1 a même puissance que 
V ensemble des points situés sur un de ses côtés, c'est-à-dire, a 
la puissance du continu. Lne question se présente naturellement 
au sujet des deux ensembles que nous avons pris pour types : 
l'ensemble E des nombres compris entre o et 1 est-il dénom- 
brable? La réponse est négative {^) '• lorsqu on enlève de l'en- 
semble E une infinité dénombrable d'éléments, il en restera 
toujours une infinité, de quelque manière qu'on opère ( * ). 



(') Suivant les cas, on est amené à regarder comme distinctes deux frac- 

P P A . . . . 

lions » =—r au moment que p el q ne sont pas égaux respectivement a p et g, 

ou à ne pas regarder comme distinctes deux fractions égaies, c"esl-à-dire telles 
(\uc pq' — qp' — o, mais, quelle que soit la convention faite, la conclusion est la 
mùmc. 

(-) Voir E. HonEL, toc. cit.. p. 17. 

(') Voir E. HouEL, toc. cit., p. 14. 

(♦) D'ailleurs il ne faudrait pas croire que les deux types de puissances que 
nous avons considérés soient les seuls possibles. Voir, à ce sujet. E. Borel, toc. 
cit., p. 107. 



NOTIONS GENERALES SUR LES ENSEMBLES. 



Ensembles de points. 

On peut aller beaucoup plus loin dans celle élude des ensembles 
abstrails. Miiis nous aurons surtout à utiliser dans la suite les pro- 
priétés spéciales aux ensembles de points (et particulièrement 
de points d'une droite). Plusieurs de nos résultats pourront se 
généraliser à l'espace à n dimensions, en appelant point un en- 
semble de n nombres réels : :r,, .To, . . ., x,i^ et sphère le lieu des 
points pour lesquels on a 

(.ri— «,)'--^----+-(^/r-««)2=r2<R2. 

Le nombre positif/' sera la distance du point ^,, . . . , jT/^ au 
centre «, , . . • , cin ; R est le ravon de la splière. 

La notion fondamentale qui s'introduit dans la considération 
des ensembles de points à un noml)re quelconque de dimensions 
est celle de point limite. Nous dirons qu'un point A est point 
limite d'un ensemble E si, quel que soit le nombre positifs, on 
peut trouver un point de l'ensemble E distinct de A et dont la 
distance à A soit plus petite que £. 

11 résulte évidemment de cette définition qu'il v a une infinité 
de points de E près de A. 

Il V a souvent avantage à introduire la considération du point à 
l'infini. Il sera, par définition, point limite de E, s'il j a des points 
de E à l'extérieur d'une sphère quelconque. 

L'ensemble E' des points limites de E est l'ensemble dérivé 
de E. On dira que l'ensemble E esi fermé s'il contient tous les 
points de son dérivé E^ ei parfait s'il coïncide avec E'. 

On voit immédiatement que V ensemble dérivé E' d\in 
ensemble quelconque E est fermé. En effet, près d'un point 
limite quelconque de E', B, il y a des points A' de E' et, près 
de A', il y a des points A de E. On peut s'arranger (î étant un 
nombre positif donné) pour que les dislances de B à A' et ensuite 

de A' à A soient plus petites que - et alors la distance de B à A 

sera plus petite que e; car il résulte de la définition analytique de 
la distance qu'un colé d'un triangle est au plus égal à la somme 



4 CHAPITRE I. 

des deux autres. Donc un point limite quelconque de E' est un 
point de E'. 

L'étude de l'ensemble dérivé E' d'un ensemble E peut dans 
certains cas nous révéler certaines propriétés de l'ensemble E, 
comme nous allons le voir. D'autre part, le sujet de cette élude 
est plus restreint, puisque E' ne peut être donné a priori ôîwne. 
façon quelconque, d'après le théorème précédent. 

Théorème de Weierstrass-Bolzatso. — La condition néces- 
saire et suffisante pour qu'un ensemble ne contienne qu'un 
nombre fini de points est que son ensemble dérii'é soit nul 
(c'est-à-dire qu'il n'y ait pas de points limites de E). 

Il suffit évidemment de démontrer que, si un ensemble E con- 
tient une infinité de points, il a au moins un point limite. En 
effet : ou bien le point à l'infini est point limite; ou bien tous 
les points de E sont dans une sphère S de rajon fini. En agran- 
dissant S, on peut supposer que S soit un volume limité par des 
plans parallèles aux plans de coordonnées (' ). Menons maintenant 
des plans équidistants de ceux-ci; ils partageront S en un certain 
nombre de parties égales S< , S',, ... et dans l'une au jnoins de 
ces parties, Si par exemple, il y aura une infinité de points de E. 
Opérons de même sur S,*, il y aura une des parties de Sj au moins, 
soit So, qui contiendra une infinité de points de E, et ainsi de suite. 
On formera ainsi des régions S, S,, So, . . . contenant toutes une 
infinité de points de E, chacune intérieure à la précédente et qui 
tendent manifestement vers un point A situé à leur intérieur ou 
sur leur contour. Le point A sera un point limite de E, puisqu'il 
y aura une infinité de points de E aussi rapprochés de lui qu'on 
le voudra. 

ISous allons maintenant démontrer une proposition analogue 
en utilisant une locution introduite par M. Ernst Lindeloi. Nous 
;ip|)('llcrons avec lui point de condensation d'un ensemble E, un 
point A tel (jue, dans une sphère de centre A et de rayon aussi 
pelit ([ue l'on veul, il existe une infinité non dénombrable de 
points de E. J^e point à l'infini sera un point de condensation s'il 

(') Nous appelons plan coordonné l'ensemble des points pour lesquels on a 
a:.= (); un |)lan parallèle à x--.-o est x-—a-\ la distance des plans x, = a^, 
X. -- b- e>L |a, — ^J. 



NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ENSEMBLES. 5 

y a une infinité non dénomhrabic de points (le E à l'extérieur 
d'une sphère de rajon aussi grand que l'on veut. 

On peut alors répéter la démonstration du théorème précédent 
en remplaçant les mots : infinité de points par infinité non dénom- 
brahle de points qI points limites pair points de condensation. On 
prouvera ainsi que tout ensemble non dénombi'able admet au 
moins un point de condensation. 

Cette même notion permet de démontrer simplement la propo- 
sition suivante (' ) : 

Théorème de Cantoh-Bendixson. — Un ensemble fermé 
quelconque F peut être décomposé en un ensemble parfait P 
et un ensemble dénombrable D. 

^ïi elTet, appelons P l'ensemble des points de condensation 
de F (ce sont des points de F puisque F est fermé) et soit D l'en- 
semble des autres points de F. 

Je dis que P est parfait et D dénombrable. 

Tout d'abord, P coïncide avec son dérivé P'. Car, soit A' un 
point de P', il y a près de A' une infinité de points A de P dans 

une sphère de centre A' et de rayon "-' Près d'un point A^ il y a 

une infinité non dénombrable de points B de F dans une sphère de 

centre A et de rayon ^ • Donc, il y a une infinité non dénombrable 

de points de F dans la sphère de centre A' et de rayon s : A' est un 
point de P. 

Réciproquement, considérons deux sphères S/^, S^^ concentriques 

à un point A, de P et de rayons - ? Entre ces deux sphères, 

y ^ - Il IL -r~ \ r ^ 

il ne peut y avoir un nombre fini ou une infinité dénombrable de 
points de F quel que soit n. Sans quoi, on pourrait les désigner 
par Ujii^ cijvii ^«35 • • -5 ^^ alors, dans une sphère de centre A, et 
de rayon assez petit, il n'y aurait d'autres points de F que des 
points aïk qui forment comme on l'a vu un ensemble dénombrable. 
Par conséquent, Aj ne serait pas point de condensation de F. 
11 y a donc des valeurs de n aussi grandes que l'on veut pour 



(') Cette proposition a été démoulrée d'abord au moyen de la considératioû 
des nombres transfmis. 



6 CHAPITRE I. 

lesquelles 11 y a un ensemble non dénombrable de points de F 
entre 2,,, S',^. 

D'après le théorème démontré, il y aura au moins un point de 
condensation de F entre 2« et S,^. Le rayon de S,, tendant vers 
zéro, A, sera un point limite de P. Ainsi P est parfait; il en résulte 
en particulier qu'un point de D ne peut être limite de points de P. 
Autrement dit, Ja distance d'un point bien déterminé G de D à 
un point quelconque A de P a un limite inférieure /' non nulle. 

L'ensemble E, des points de D pour lesquels /' > - est dénom- 
brable, sans quoi cet ensemble E, aurait au moins un point de 
condensation qui serait en même temps un point de condensation 

de F. Or ceci est impossible puisque /' >> - • Nous pourrons donc 

ranger les points de D pour lesquels /• >> i dans l'ordre Cn? c,2i 

c,3, . . . puis ceux pour lesquels on a i ^ /' > - dans Tordre Co», 

^227 ^23, ... et ainsi de suite. Tous les points de D pouvant être 
obtenus chacun une fois dans l'ensemble des c/a, D est bien dé- 
nombrable. La démonstration précédente n'est exacte que si tous 
les points de l'ensemble sont à distance finie. Une simple transfor- 
mation homographique ramènerait à ce cas l'hypothèse contraire. 

Structure des ensembles parfaits linéaires. 

Nous allons maintenant nous restreindre à la considération des 
ensembles de points situés sur le segment (o, i) que nous appel- 
lerons intervalle fondamental. Quelques-uns de nos résultats 
pourraient s'étendre comme les précédents aux ensembles de 
points à n dimensions, mais nous n'aurons pas à utiliser cette 
extension. 

Considérons un ensemble de points de l'intervalle fondamental; 
nous dirons (juil est dense dans un intervalle partiel (a, 6), si 
son ensemble dérivé contient tous les points de cet intervalle. On 
voil (|u'iin euseml)lc dense dans un intervalle (<^7, /;) contient, s'il 
est parlait, tous les points de cet intervalle. 

Nous allons montrer maintenant comment on peut construire 
un cnscmhic parfait V défini dans l'intervalle fondamental. Soit, 



NOTIONS GÉNKRALKS SUR LKS KNSEMBLES. 7 

dans cet intervalle, nn point A n'appartenant pas à rcnsemljle l* 
[ce qui suppose que F n'est pas dense dans l'intervalle (o, i)]. 
Supposons d'abord qu'il existe au moins un point B de P d'abs- 
cisse b supérieur à l'abscisse a de A. La limite inférieure des 
abscisses b est nn nombre déterminé, [j, abscisse d'un certain 
point N et l'on a [^^«. T^e point ÎN est évidemment point Innite 
de P, c'est donc un j^oint d<.' V. Par suite, il ne peut coïncider 
avec A et l'on a : [j >> a. D'ailleurs, entre A et M, il n'y a certai- 
nement aucun point de P. Supposons de même qu'il j ait au moins 
un point G de P d'abscisse inférieure à a, on voit qu'on pourra 
former un intervalle MIS dont les extrémités seules appar- 
tiennent à P et qui contient A à son intérieur. 

Nous dirons, en adoptant une expression proposée par M. Baire, 
que l'intervalle MN ainsi défini est un intervalle contigu à l'en- 
semble parfait P. 

Pour exprimer que A est entre M et N sans coïncider avec M 
ni avec N, nous dirons que A est intérieur à MN au sens étroit ; 
il serait intérieur au sens large s'il pouvait coïncider avec l'une 
des extrémités. 

Il pourra exister des points A tels qu'il n'y ait pas de points 
de P à droite de A (c'est-à-dire d'abscisse supérieure). Dans ce 
cas, on pourrait encore construire un segment tel que MN, sauf 
que N serait le point i n'appartenant pas à P. De même, s'il n'y 
avait pas de points de P à gauclie de A, M serait le point o. 

Observons que si l'on détermine tous les segments tels que MN, 
on obtient une infinité dénombrable de segments n' empiétant 
pas les uns sur les autres et n'ayant même pas d'extrémité 
commune. Le fait que les intervalles conligus à P sont sans points 
communs résulte de leur définition même. De plus, ces segments 
forment un ensemble dénombrable. Car le nombre de ceux de ces 

segments dont la longueur est plus grande que - est inféjieur à n 

par suite des propriétés précédentes. D'après un raisonnement que 
nous avons fait plusieurs lois, cela suffit à démontrer notre pro[)o- 
sition. 

Il en résulte qu'on obtiendra l'ensemble parfait P [qu'on a 
pris arbitrairement , mais distinct de l'ensemble des points de 
l' intervalle fondamental) en enlevant de cet inteivalle les 



8 CHAPITRE I. 

points intérieurs [au sens étroit) à un certain ensemble dé- 
nombrable E d'intervalles MN sans points communs. Réci- 
proquement, si l'on opère ainsi en se do]V]va]vt a priori un 
ensemble E, nécessairement dénombrable, cV intervalles MN 
sans points communs, l'ensemble P obtenu est parfait. 

En efTet, soit A/ un point de l'ensemble dérivé P' de P; A' est 
un point de P sans quoi il serait intérieur au sens étroit à un 
intervalle MN qui ne contient pas de points de P autre que M 
ou N et alors A' ne serait pas point limite de P. Soit maintenant A 
un point de P, il faut montrer qu'il y a au moins un point de P 
distinct de A dauîs tout intervalle aji ajant pour milieu A et aussi 
petit que l'on veut. Or, ou bien il n'y a que des points de P dans 
l'un des deux intervalles Aa, Ajâ et alors la proposition est véri- 
fiée; ou bien il j a au moins un point B, dans a^A. et un point B2 
dans [^A qui n'appartiendraient pas à P. Les points B, et Bo seront 
respectivement situés dans deux des intervalles enlevés M, N,, 
M2N2 et, puisque A appartient à P, l'extrémité droite N, de l'un 
et l'extrémité gauche Mo de l'autre seraient deux points de P con- 
tenus l'un entre \^^ et A, l'autre entre Bo et A et par conséquent 
contenus entre a et [3. De plus, l'un au moins de ces deux points 
est distinct de A, car les deux segments M,N,, M2N2, étant dis- 
tincts, sont sans points communs. Ainsi l'ensemble P est parfait. 
Remarquons en passant que, s'il n'est dense dans aucun inter- 
valle, on peut le considérer comme composé de V ensemble 
dénombrable des points M {par exemple) et de l'ensemble 
dérivé de celui-ci. Car, d'après la démonstration précédente, dans 
(out intervalle a|3 ayant pour milieu un point A de P il y a toujours 
un point M distinct ou non de A, à moins que P ne soit dense 
dans l'un des intervalles Aa, Ap, ce qui est impossible dans notre 
hypothèse. 

La même démonstration suppose qu'il existe au moins un 
point A dans l'ensemble P et alors il y en a nécessairement une 
infinité puisque A sera point limite. D'autre part, nous avons 
admis qu'on enlève de la droite seulement les points intérieurs 
au sens étroit aux segments MN (tous compris au sens large 
entre o et i) ; m;iis la démonstration, pour être exacte, exige qu'on 
enlève le point i pour l'unique segment qui se termine en ce 
point, s'il en existe un et de même pour le point o. 



NOTIONS génl:»ali:s slk les enskmblks. 9 

SI E comprenait un scgnienLqiii soit |)rccis(hnent (o, i) et qu on 
enlève tous les points de ce segment, V n'aurait aucun point. Si 
nous écat^tons ce cas y P a toujours une infinité de points. 

En efîc't, dans le cas contraire, P n'aurait aucun point. Ceci est 
manifestement impossible, si E ne comprend qu'un nombre fini 
de segments sans points communs. Or le cas où E comprendrait 
une infinité de segments sans points communs se ramène à celui- 
ci au moyen du théorème général suivant (') qui s'applique à des 
intervalles quelconques empiétant ou non : 

Si Von a sur le segment (o,i) une infinité E cV intervalles 
partiels MN, tels que tout point de la droite soit intérieur {au 
sens éti'oit) à V un au moins de ces intervalles, il existe uis 
ivoMBRE LIMITÉ dc CCS întcrvalles, tel que tout point de la droite 
soit intérieur au sens étroit à au moins l' un d'eux. 

Ce théorème a été démontré par M. Em. Borel dans le cas d'une 
infinité dénombrable d'intervalles. Nous allons donner la géné- 
ralisation de M. Lebesgue (-) au cas d'une infinité quehîonque 
d'intervalles. Nous dirons qu'un point x de l'intervalle (o,i) est 
atteint si l'on peut trouver un nombre fini d'intervalles MN qui 
recouvrent complètement l'intervalle (o, x) (en le débordant). Il 
faut démontrer que le point i est atteint. Le point o est dans un 
intervalle partiel au moins : tjiv ; donc ily a certainement des points 
atteints entre o et i : ceux qui sont entre o et v. Or tout point à la 
gauche d'un point atteint est atteint et tout point à la droite d'un 
point non atteint n'est pas atteint. Dès lors, si i n'est pas atteint, 
il y a un point ^q entre o et i qui est le dernier point atteint ou 
le premier point non atteint. Il est situé dans un de nos inter- 
valles : tji'v'. Soient x^ entre ]jJ et Xq^ x-2 entre Xq et v'. Le point ^o 
s ra atteint au moyen des intervalles qui servent à atteindre Xi 
(à la gauche de x,)) et de l'intervalle a'v'. Ceci esl impossible 
puisque X2 est à la droite de Xq. Donc i est atteint. 

D'ailleurs, il est loisible de supprimer les portions de ces inter- 
v;i]l('s qui pourraient déborder à la droite de i ou à la gauche 



(') Voir E.M. BoRKL, toc. cit. (p. 1:2). L'extension au dotnaiiic à n dimensions 
est immédiate; elle a été développée dans le Journal de M. Jordan : Contribution 
à t'Analyse arithmétique du continu, par E.m. Borel (p. 357, fascicule IV, 190.1 . 

(-) Voir Lebesgue, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions 
primitives. Paris, Gaulliicr-Villars. 



lO CHAPITRE I. 

de o, cl alors tout point (sauf les points o, i) sera encore intérieur 
au sens étroit aux intervalles partiels. Il en serait de même pour 
le nombre fini d'intervalles que nous avons obtenu. 

Théouème fondamental sur la mesure. — Considérons main- 
tenant un ensemble dénomhrabie E d'intervalles quelconques MN 
com[)ris dans (o, i ) an sens large. 

Nous pourrons les ranger dans un ordre déterminé : M, N, , 
M2N0, .... Appelons o-^la longueur deM/N/. Si les intervalles n'ont 
aucun point commun, on aura certainement : t, -\- 0-2 + .. .-r ^^ <C • 
pour toute valeur finie de q. Donc la série à termes positifs : 



d := Ji -i- ^o — . 



^'1 



sera convergente et sa somme t ne sera pas supérieure à un. 
Autrement dit, la longueur totale des intervalles enlevés, que 
nous pourrons appeler la mesure de E, est au plus égale à la lon- 
gueur totale de l'intervalle (o, i). Nous avons vu d'ailleurs que 
les points du segment (o, i) ne sont pas nécessairement tous 
enlevés. On peut se demander s'il est possible (les intervalles MN 
empiétant ou non) que les points du segment (0,1) soient tous 
enlevés sans que a- soit supérieur ou au moins égal à un. La ré- 
ponse est évidemment négative dans le cas où il y a un nombre 
lini de segments MN. Il en est encore de même s'il y a une infi- 
nité dénombrable de segments MN puisque ce cas se ramène au 
précédent \\\\ moyen du théorème de M. Borel (p. 9). Ceci sup- 
pose que l'on enlève seulement de chaque segment MN les points 
intérieurs au sens étroit. Le résultat est encore exact dans le- 
cas contraire. En eflfet, on enlèvera bien les points intérieurs 
à AJ/N/ au sens large, si l'on supprime les points intérieurs au 
sens (Uroit au segment ^I^N| qui a même milieu que M/N/ et dont 
la longucMir est 0-'^= t/(i -4- s), £ étant un nombre positif fixe. Or, 
si la sc'iic a- =r^ T, -I- To -{- . . . est convergente et de somme infé- 
rirurc à un^ ou peut prendre £ assez petit pour que la série con- 
vergente o-'^t', -|- t'^ 4- . . . ail aussi une somme inférieure à un. 
Mais, d'après ce (jui précède, les points du segment (o, i) ne 
pourraient être tous enlevés, quand on emploie les segments M^N^ 
au sens étroil. A fortiori, il en sera ainsi quand on enlève les 
segments M/N/ au sens large. 



NOTIONS GENKHALES SUR LES ENSEMBLES. fl 

En résumé, lorsqu'on enlève du se<^nienl (o, i) tous les points 
intérieurs à une infinité dénombrahle d' intervalles M/N/ em- 
piétant ou non les uns sur les autres et de longueur totale 

7 — a, -f- a., -f- . . . -4- 7,/ -4- . . . < r , 

il reste certainement des points non enlevés sur le serment (o, t). 
On peut dans cet énoncé entendre le mol intérieur indilîeremment 
au sens étroit ou au sens large. 

Donnons un exemple d'un tel ensemble d'intervalles. On ob- 
tiendra certainement tous les nombres rationnels compris entre o 
et I, dans la suite : 

I I a '2 9 3 3 3 3 4 

(en supprimant les fractions non irréductibles, on a là une preuve 
directe que les nombres rationnels forment un ensemble dénom- 
brable). 

Soit — le terme de rang i de cette suite, nous prendrons pour 

intervalle M/N/ l'intervalle ( — -, j — -\ — % ) - On aura : 

\9i 7/ 7'- 9Î/ 



2£ -2 1 "2 1 9.1 9.Z 

^=— + -r-+-— -+- — -4- — 
,J i3 .^.l -jyi 'j,j 



r(l-*-i) (9-4-1) (r/-^T) 1 



= 9£M 



M étant la somme d'une série convergente. Donc, en prenant 
pour £ un nombre déterminé, assez petit pour que 2£M soit infé- 
rieur à un, on aura a- «< i et par conséquent en enlevant les inter- 
valles M/Nf il restera un ensemble G de points sur le segment o, i. 
En modifiant légèrement la construction, on peut obtenir un 
ensemble G parfait. En elTet, supprimons d'abord de la suite des 

nombres — les fractions non irréductibles. Puis enlevons successi- 

vement du segment (o, i) les intervalles M/N/, ([ui correspondent 
cliacun maintenant à un seul nombre rationnel et réciproque- 
ment; mais, en arrivant à l'intervalle de rang /, rapetissons cet 
intervalle de façon qu'il n'ait aucun point commun avec les pré- 
cédents. On aura, à plus forte raison, ^ <^ \ et il y aura encore 
un ensemble G de points non enlevés. D'ailleurs, cette diminu- 
tion des segments M/N/ pourra se faire de façon qu'il reste encore 



12 CHAPITRE I. 

une infinité de segments M/N/ non nuls. Sans quoi, il y en aurait 
un nombre fini sans points communs n'occupant pas tout le seg- 
ment (o, i); il resterait donc au moins un intervalle (a, ^)de points 

non enlevés. Or ceci est impossible, car dans la suite des — on 

pourrait trouver un terme de rang assez élevé pour être intérieur 
à cet intervalle au sens étroit et qui pourrait encore donner lieu 
à un nouveau segm.ent M/N/. 

Si maintenant on enlève les points intérieurs au sens étroit à 
cette infinité dénombrable d'intervalles sans points communs, on 
aura un ensemble parfait G (p. 8) et pourtant G ne sera dense 
dans aucun intervalle partiel (a, b) entre o et i . Car, étant parfait, 
il contiendrait tous les points de («, b), ce qui est impossible 
d'après ce qui précède ('). 

M. Cantor a donné un exemple efi'ectif d'un ensemble linéaire 
j)arfait qui n'est dense dans aucun intervalle entre o et i . Il utilise 
dans ce but la re[)résenlation de l'abscisse dans le système de 
numération dont la base est 3. Un point compris dans l'intervalle 
ibndamenlal sera représenté par l'expression o ,abccle , . . où les 
nombres «, /^, c, <:/, e, . . . sont tous o, i ou i. On peut toujours 
supposer, sauf pour le point o, que les nombres a, 6, c, c/, e, . . . 
ne sont pas tous nuls à partir d'un certain rang, car on peut écrire, 

par exemple, 

o^abcdi — o^abccloTi'i. . ., 
o , abccii = o , abcch l'ii .... 

Cela posé, l'ensemble F sera formé de tous les points dont les 
abscisses o^abcdc . . . peuvent être écrites sans employer le 
chiffre i, en utilisant, s'il est nécessaire, la remarque précédente. 
On obtiendra tous les points de F en enlevant tous les autres. Or 
on y arrivera métliodiquement de la manière suivante. 

On cnlèvcia d'abord les nombres dont le premier chiffre après 
la virgule est i , puis les nombres dont les premiers chitlVes après la 
virgule sont oi ou ai, et ainsi de suite. On voit que cela revient à 
enlever les points intérieurs au sens étroit aux intervalles (o, i; 
0,2); |>nis (0,01; (),o';i) et (0,21; 0,22); puis (0,001; 0,002), 

(') Hicn (iiic ii(»ns ne puissions faire ici un liislorique complet, il est néccssiiirc 
de (lire que l'aul du liois-Hcyinond a beaucoup contribué à élucider ces notions. 



NOTIONS GÉNÉRALFÎS S LU LES HNSEMBLES. l3 

(o,02i ; o, 0'2'j.)j (o, 20 1 ; o, aov.), (o, 22 i ; o, 222), En d(*finilivc, 

on voit qu'on enlèvera les points intérieurs au sens étroit à une 
infinité dénombrable d'intervalles sans points communs. Ainsi 
l'ensemble F est parfait; d'aillcin\s, il n'est dense dans aucun in- 
tervalle. Car, étant parfait, il devrait contenir tout cet intervalle, 
ce qui est impossible : dans tout système de numération, entre 
deux nombres quelconques, on peut en intercaler un troisième 
dont l'un des chiffres après la virgule soit i. 

On |)eut môme remarquer que si, avec les notations précé- 
dentes, on appelle mesure de V ensemble F la quantité i — 7, la 
mesure de F est nulle. En effet, les longueurs de nos intervalles 
sont, écrites dans le sj'stème de numération ternaire : 0,1; puis 
0,01; 0,01 ; puis 0,001 ; 0,001 ; 0,001 ; 0,001 ; . ... 

On a donc 



d'où 



I 9. 2^ y.^ 

3 "^ 3^ "^ 33 "^ 3^ 

I — a = o. 



D'ailleurs, on peut former géométriquement nos intervalles 
d'une façon simple : on divise le segment (o, i) en trois parties 
égales et l'on supprime la partie moyenne; puis on fait de même 
dans les intervalles restants et ainsi de suite. 

Enfin, notons ce fait paradoxal qu'après avoir enlevé du seg- 
ment (o, i) une infinité de segments dont la longueur totale est 
égale à celle de ce segment, il reste un ensemble de points F qui 
a même puissance que l'ensemble des points de l'intervalle (o, i). 
En effet, un point quelconque de F a pour abscisse a:=o, abcd . . . , 
où a, b^ c^ d^ ... sont tous égaux, soit à o, soit à 2. Faisons corres- 
pondre à un tel nombre a, le nombre a' obtenu en y remplaçant 2 
par I et supposé écrit dans le système binaire. Le nombre a' 
sera compris entre o et i et Ton établira ainsi une correspondance 
univoque et réciproque entre les points a de F et les points a' 
compris entre o et 1. Il y a une petite difficulté à cause du fait 
que certains nombres peuvent s'écrire de deux manières dans le 
système de base 2; mais leur ensemble est dénombrable (ce sont 
les nombres qui peuvent s'écrire au moyen d'un nombre y?/i/ de 
chiffres après la virgule) de sorte que la difficulté se lève aisément. 

On peut généraliser ce dernier résultat sous la forme suivante : 



l4 CHAPITRE I. 

Théorème de M. Cantor. — Tout ensemble parfait linéaire 
a la puissance du continu. 

Il suffit de prouver le théorème dans le cas où l'ensemble par- 
fait P n'est dense dans aucun intervalle. Car autrement, en sup- 
posant par exemple P entre o et i, l'ensemble P serait une partie 
de l'ensemble continu (o, i) et d'autre part une partie de P. dense 
dans un intervalle (a, 6), coïnciderait avec l'intervalle (a, h) et 
aurait par conséquent même puissance que (o, i). P aurait bien 
dans ce cas la puissance du continu ('), 

Supposons que P soit un ensemble parfait qui ne soit dense dans 
aucun intervalle. On peut l'obtenir en enlevant (au sens étroit) 
du segment (o, i) une infinité dénombrable d'intervalles partiels 
sans points communs Mf-N^. Puisque P n'est dense dans aucun 
intervalle, c'est que dans tout intervalle (a, ^) il j au moins un 
point n'appartenant pas à P. Donc dans tout intervalle (a, 6), il 
y a tout ou partie d'un intervalle partiel M/INj; en particulier 
entre M/N/ et MyNy, il y a au moins un intervalle entier jMaNa. 

Ceci étant, la méthode de M. Cantor consiste à établir une 
correspondance univoque et réciproque entre tous les seg- 
ments Mi Ni et tous les nombres rationnels compris entre o et i , 
de manière que deux éléments correspondants soient disposés de 
la même façon. Pour cela, observons qu'on peut obtenir tous les 
segments M^N/ une fois et une seule en les rangeant de la façon 
suivante. Prenons un intervalle M, N^ quelconque entre o et i, 
puis un intervalle MoNo quelconque entre o et MiN^ M3N3 
quelconque entre M,]N, et i, M4N4 quelconque entre o et 
Mo No (-), . . . , en prenant ainsi un intervalle iMN successivement 
entre chacun de ceux qu'on a déjà pris, etc. Si l'on opère de la 
même manière pour les nombres rationnels, l'ordre relatif de ces 
nombres rationnels sera bien le même que celui des intervalles M\. 
Mais il est nécessaire de ])rendre une précaution pour être cer- 
tain (r('puisor tous les nombres rationnels et tous les intervalles. 
Lorsque, ayant pris n — i nombres rationnels, on devra choisir 

(') Voir Km. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Note I. 

(') Pour être sur d'obtenir ainsi tous les segments, il suffit, en les supposant 
ranfîés d'une manière quelconque en suite dcnoml)rahle, de prendre chaque fois 
l'inlervulle I\L\ (jui a le plus petit indice parmi tous ceux entre lescjuels on a le 
choix. 



o 


I 


I 


l 


1 


I 


3 


I 


';• 


3 


4 


l 


I 




y 


3' 


7 ' 


V 


- » 

3 


T > 
J 


J 





NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ENSEBIBLES. Ij 

le /i'*""*^, au lieu de le prendre cjuelconque dans un cerlain inter- 
valle déterminé (—'-ri on choisira le rionnbre rationnel de cet 
intervalle que l'on trouve le premier dans la suite : 

(S) 

(ou dans tout autre ordre déterminé des nombres rationnels com- 
pris entre o et i). Par cette méthode on obtiendra bien chaque 
nombre rationnel une fois et une seule. En elïet, d'après la mé- 
thode suivie, chaque point rationnel utilisé n'est pris qu'une seule 

fois. D'autre part, soit — un noml)re rationnel (quelconque entre o 

et i) qui occupe le rang n dans la suite (S ); il suffit de démontrer 
que si l'on a pris les n — i précédents au bout d'un nombre fini A 
d'opérations, le /i»'^""' sera choisi à son tour. En effet, la valeur 

de — se trouve entre deux des B nombres de la suite (S), qui ont 

été choisis après A opérations; soient a^ et a/^ ces deux nombres, 
qui correspondent à deux certains intervalles M/^N/f, M^N>i. 
Soit M^N;. celui des intervalles compris entre ceux-ci qui a le 
plus petit indice. Le nombre rationnel qui correspond à M^N^ est 
celui des nombres rationnels compris entre a/f, a^ que l'on trouve 

le premier dans la suite (S). C'est nécessairement — qui devra 
donc être pris à la /•''^'"^ opération. 

Maintenant, faisons correspondre à un nombre rationnel 

quelconque — l'extrémité droite M^- de l'intervalle correspon- 
dant M/-N/.. La disposition des points M^ est la même que celle 
des points—- Par suite, si M^ tend de façon quelconque vers un 
point m du segment (o, i), ^ tend vers un point déterminé [^ du 
segment (o, i) et réciproquement. Je dis que la correspondance 
entre les points M^et ^, jn et [^ est une correspondance univoque 

et réciproque entre les points de P (sauf les points N) et l'en- 
semble continu formé par les points du segment (o, i). 11 suffit 
évidemment de montrer : i° que tout point de P qui n'est pas un 
point IN est un point M^ ou un point m, ce qui a été établi page 8 ; 



l6 CHAPITRIÎ 1. 

'2^ que tout point entre o et i est un point ^ ou ,3, ce qui est 

évident. 

Donc P a la puissance du continu. On aurait pu donner de ce fait 
une démonstration plus courte, mais la méthode précédente (due 
à M. Gantor) a l'avantage de fournir une correspondance effective 
remarquable entre les points de P (sauf les points N, dont l'en- 
semble est dénombrable) et les points de (o, i). 

Ensembles mesurahles. 

Nous avons eu déjà l'occasion (p. i3) de parler de la mesure 
d'un ensemble linéaire. On peut généraliser cette notion de plu- 
sieurs manières (* ). Cette extension est toute naturelle lorsque Ton 
considère un ensemble E formé des points d'une infinité d'inter- 
valles sans points communs deux à deux et situés entre o et i. On 
a vu que ces intervalles sont en infinité nécessairement dénom- 
brable et que la somme 

a = 7i -f- ^2 -+-... -h J/i -h . . . 

de leurs longueurs est déterminée et au plus égale à i . Ce sera la 
mesure de E; et la longueur i — t (qui peut être nulle) sera la 
mesure de l'ensemble complémentaire C(E). 

Nous obtenons ainsi deux classes d'ensembles que nous pour- 
rons appeler mesurables. On pourra en ajouter d'autres par les 
conventions suivantes. Si l'on a un ensemble dénombrable E 
d'ensembles mesurables E/ sans points communs deux à deux, 
la mesure de E sera la somme des mesures des ensembles E/. Si 
un ensemble mesurable E, est compris dans un ensemble me- 
surable Eo, la mesure de V ensemble (E, — E2) sera la dilïe- 
rencc (o-, — 0-2) de leurs mesures respectives a-,, Uo. 

On s'assure facilement (-) que la mesure ainsi définie est un 
nombre déterminé qui n'est jamais négatif, de sorte qu'on n'est 

(') La (IrCniitioii doniicc dans le Icxle a déjà été exposée par M. Borcl dans les 
Leçons sur la l/ieorie des fondions ( p. /|G ). Elle a été généralisée par M, Lebesgue 
dans sa Tlicsc. On verra, dans ces denx Ouvrages, comment on est amené logi- 
(pu'incnl à la doliniUon de la tnesurc. 

(-) Voir par exemple Lkdesque, Annali di Matematica, 1902, p. 238. 



NOTIONS GKNÉUALKS SUR LES ENSKMBLLS. I7 

jamais conduit à des contiadlcllons. Lorsque les dc'finilions pn'- 
cédenles poiirronl s'aj)pliqiicr à un ensemble E, nous dirons que 
cet ensemble est mesurable. Ainsi un ensemble qui comprend 
un seul [)oint est mesurable et sa mesure est nulle; car l'ensemble 
complémentaire est évidemment composé d'intervalles sans points 
communs dont la lon*;ueur totale est é<;ale à i . Il en résulte qu'un 
ensemble dénombrable est mesurable et que sa mesure est nulle. 
D'autre pari, un ensemble parfait est évidemment mesurable, 
puisque l'ensemble complémentaire est formé d'intervalles sans 
points communs. Or, un ensemble fermé F est la somme d'un 
ensemble dénombrable D et d'un ensemble parfait P. Donc F est 
mesurable et sa mesure est celle de [\ 

Plus généralement, un ensemble dénombrable E d'ensembles 
parfaits sera mesurable. Il en est ainsi, même lorsque ces en- 
sembles parfaits ont des points communs. Car on obtient chacun 
d'eux en enlevant du segment (o, i) une infinité dénombrable 
d'intervalles sans points communs. Par conséquent, on obtiendra 
l'ensemble total en enlevant de la droite une infinité dénombrable 
d'intervalles qu'on peut supposer sans parties communes, mais 
qui auront peut-être deux à deux une extrémité commune. Si l'on 
enlevait aussi ces extrémités communes, on aurait un ensemble 
mesurable Ej. L'ensemble E est donc mesurable, puisqu'il est la 
somme de l'ensemble E, et de l'ensemble des extrémités communes, 
lequel est nécessairement dénombrable. 

Désignons en général par (E, -j- Eo -f- . . . ) l'ensemble des 
points qui appartiennent à l'un des ensembles E,, E^, .... et 
par (E,, Eo, . . .), l'ensemble des points qui appartiennent à la 
fois à chacun des ensembles E,, E2, .... 

Si les ensembles E,, Eo, ... sont mesurables, les deux 
ensembles (E, -h Eo H- • • • ), (E,, E^, ...) sont aussi mesu- 
rables ('). Or, on peut remarquer que tous les ensembles que 
nous pourrons effectivement former seront obtenus chacun en 
effectuant un nombre fini de fois, sur des ensembles, sommes d'in- 
tervalles, ou sur leurs complémentaires, les opérations repré- 
sentées parles symboles (E, -f- Eo + ...), (E, , Eo, ...V Par 

(') Voir par exemple Lebesgue, toc. cit., p. aSg, 240. 

E. B. 2 



ij^ cii.vi'ITr:: i. 

suite, ils seront tons mesurables. Pour préciser cela, nous exami- 
nerons un cas particulier. 

Appelons ensemble limite complet des ensembles E,, E2, . . . 
Tensemble E formé des points qui appartiennent à une infinité 
d'enire eux. Appelons aussi ensemble limite restreint des 
ensembles E,. ... l'ensemble R formé des points tels que, pour 
chacun d'eux, on puisse déterminer n de façon que ce point 
appartienne à E„, E,,^,, Ou voit que l'ensemble R est con- 
tenu dans l'ensemble E; mais il ne lui est pas identique, en 
.général. 

On peut observer que l'ensemble limite complet E des 
•ensembles E|, E2, . . . est le complémentaire de l'ensemble limite 
restreint des complémentaires c(E, ), c(E2), ... des ensembles 
donnés et de mêuie en intervertissant les mots complet et j^es- 
Ireint. 

Je dis que, si les ensembles E,, E^, . . . sont mesurables, il en 
est de même des ensembles limites E, R. En effet, si l'on pose 
.e„=^(En^ E,/+, , . . . ), on voit que l'on a 

Par suite Pl est mesurable. Mais alors Pensemble liuiite res- 
treint des ensembles c(E,), ^(Eo) . . ., qui sont mesurables, sera 
mesurable. Donc le complémentaire E sera mesurable. 

Nous allons même montrer qu'on peut avoir un renseignement 
-sur la mesure de E (ou de R), même lorsqu'on ne connaît que 
*ies mesures des E/. 

Pour cela, faisons d'abord remarquer que si chacun des 
•ensembles E/ était mesurable et contenu dans le précédent, la 
mesure de E serait la limite des mesures des ensembles E/. En 
•cfTet, l'ensemble c(E) est évidemment de la forme 

Or les eiisembbîs [E,,, c(E/,^, )] sont sans points communs et 
par suite la mesure de c(E) sera la somme de leurs mesures. 
Donc, en appelant 7 la mesure de E, o-/ la mesure de E/, on a 

I — (j = (i — 7,^-h (a, — j2)-+-...-h(T,, — cr,,4-l)-^ 

D'où 

a = limite z,i. 



NOTIOxNS GKNÉrULliS SLU LES ENSEMULLS. I (J 

Supposons maintenant que parmi les ensembles E/ il en existe 
nne infinité qui soient mesurables et tels (jue la mesuie t/ c1<î 
chacun d'eux, F/, reste supérieure ou égale à un nombre positif 
fixe k. Dans ces conditiotjs, je dis (pie l'ensemble limite complet E 
contient un ensemble mesurable E dont la mesure n'est pas infé- 
rieure à A. 

En elTet, je vais d'abord montr(;r qu'étant donné î (nombre 
jiositif plus petit que A), on peut former un ensemble mesu_ 
rable G,, de mesure supérieure ou é;^ale à /i*, tel que (G|, E/) 

ait une mesure supérieure ou égale à /,• — - quel que soit /. 

Si l'ensemble E, ne peut pas être pris pour ensemble G,, il v a 

un ensemble E/^, tel (jue : mes.(E,, E/ ) ■< /,■ — -• Or on a 

[F„c(F,-.)]-i-(l^,, Iv,)=Fi- 

Les deuxpremiers ensembles étant sans points communs, on am a 

mcs.[Fi, c(F,-J] = nics.Fi— mes. (F,, F/,)^ -. 

Alors, posons 

F;-[F,,c(F,J] + F,- =-.(F. + F,-). 

L'ensemble E', sera mesurable, sa mesure étant supérieure ou 

égale à k H- -• Opérons sur E'^ comme sur E, : ou bien E', répond 

à la question, ou bien on formera un ensemble E'^ dont la mesure 

sera supérieure ou ésfale à i /e -f- - ) + - > et ainsi de suite; si 

aucun des ensembles formés au bout de p opérations ne satisfait 
aux conditions, le dernier E' sera mesurable et sa mesure sera 

supérieure ou égale à k-\-p-' Or, lorsque p devient suffisam- 
ment grand, k ^ p - arrive à surpasser i , ce qui est impossible. On 

trouvera donc l'ensemble clierclié G) au bout d'un nombre limité 
d'opérations. D'ailleurs G| est évidemment formé de points tous 
contenus dans l'un au moins des ensembles E,, Eo, .... Mais les 
ensembles GJ^ = (G,, E/i_,.,)sont mesurables et leurs mesures soûl 

supérieures ou égales à k • Par conséquent, on pourra, 

d'après ce qui précède, former un ensemble mesurable Go dont la 



20 CIIAP1TIU-: I. 

mesure n'est pas inférieure à A" — - et tel que les mesures des 

ensembles (G2, G,'J soient supérieures ou égales à A" 

2, 4 

D'ailleurs, les points de G^ seront tous contenus dans l'un des 
ensembles (G,, Fo), (G,, F3) ..., c'est-à-dire dans l'un des 
ensembles F2, . . ., F,/, ... ; ils sont tous aussi dans G,. 

Opéiant sur les ensembles Gj^ = (G2, G^^^2) comme sur les 
ensembles (G|, F/^+i), on obtiendra un ensemble G3 contenu 
dans G2 et dont les points appartiennent à F3, F4, .... De plus G3 

est Jiiesurable, sa mesure n'est pas inférieure à /r 7 et les 

ensembles (G^, GJJ ont leurs mesures supérieures ou égales 

à/r — - — - — "-,-> et ainsi de suite; on aura des ensembles G,, 
248 

G2, G3, . . . , G/i, . . . mesurables, chacun compris dans le précé- 
dent, et dont les mesures sont supérieures à A" — t. D'après ce que 
nous avons vu, leur ensemble limite G est mesurable et sa mesure, 
limite de la mesure de G/^, sera supérieure ou égale à k — s. 
D'ailleurs, un point A de G appartient à tous les ensembles G/^, 
c'est donc un point de l'un des ensembles F< , F2, F3, .... 11 ne 
peut appartenir seulement à un nombre fini de ces ensembles : 
F,„ , . . . , F,„ . Car, si N est le plus grand des nombres /n, , . . . , /«^, 
comme G est contenu dans GJ^^^i, ses points appartiennent tous 

à l'un des ensembles FJj^_i, FJj^, Donc A appartiendrait à 

d'autres ensembles que F,„^, . . . , F,„ . Par conséquent, tout point 
de G est un point de E. 

Prenons maintenant des nombres £,, £2, ...,£«, ..., tendant 
vers zéro; soient G (s,), G(£2)) •••> G(£,t), ..., les ensembles 
qui se déduisent de ces nombres comme nous avons déduit G de £ ; 
nous prendrons 

F = [G(s,) + G(e,)+...+ G(£„ .)+...]. 

L'ensemble F ainsi défini est contenu dans E et a une mesure 
au moins égale à k. 

On pourrait définir F d'une manière plus simple, mais mettant 
moins en évidence sa conslrucliou : parmi les ensembles E/, les F/ 
sont mesurables et de mesure ^k\ posons 

H«= F„4- F„-^., -h.. . 



NOTIONS (;iv\i:h.vm:.s sur li:s ensembles. 9.1 

et soit II rensomljlo des points communs à tons les !!„ ; comme 11,^ 
est contenu dans lln-{ et de mesure au moins é^ale à k^ H est de 
mesure au moins égale à /r. Or E contient II ; le théorème est donc 
démontré. 

De cette démonstration il résulte f[ue, si les ensembles Kisont 
mesurables et s'il y en a une inanité de mesure supérieure ou 
égale à /r, l'ensemble limite complet E [qui est mesurable) a 
une mesure supérieure ou égale à k. 

Appliquons ce résultat aux ensembles c(E/); en tenant compte 
de ce que leur ensemble limite complet est c(R), on arrive au 
résultat suivant : si les ensembles E/ sont mesurables et s'il y en 
a une infinité dont les mesures soient inférieures ou égales à h, 
l'ensemble limite restreint W [qui est mesurable) a une mesure 
inférieure ou égale à h. Ce résultat est d'ailleurs très aisé à 
démontrer directement. 

Pour tirer de ces propositions lout ce qu'elles peuvent faire 
connaître sur la mesure de E et R, il suffit d'introduire la plus 
grande et la plus petite des limites (L et /) des mesures t/ des 
ensembles E/. On pourra prendre pour valeurs des nombres k et /i, 
dans les énoncés précédents, les quantités L — £et/-}-£0Ùî est 
un nombre positif aussi petit que Ton veut. Par suite, on peut 
dire que la mesure de E est supérieure ou égale à l ei que la 
mesure de R est inférieure ou égale à L. 

En particulier, les ensembles E, R ne peui^ent coïncider que 
si les mesures <Ji des ensemblesFji tendent vers une limite déter- 
minée qui sera la mesure commune de E et de R. 



Ensembles de première catégorie. 

M. Baire appelle ensemble de première catégorie tout en- 
semble dénombrable E d'ensembles E|, Eo, ... qui ne sont 
denses dans aucun intervalle entre o et i . 

Un point appartiendra à l'ensemble E s'il appartient à l'un des 
ensembles E,, Eo, .... Si les ensembles E, , E^, ... ont des 
points communs, ceux-ci ne seront comptés qu'une fois dans E. 
D'ailleurs, on peut supposer que E,, Eo, ... soient sans points 



22 CUAPITHE I. 

communs. En effet, soit E^ l'ensemble des points de E2 qui ne 
sont pas dans E,, soit E', l'ensemble des points de E3 qui se sont 
ni dans E,, ni dans E!,, .... L'ensemble E, + E!,4- E!, -f- . . . et 
l'ensemble E contiennent les mêmes points, chacun une fois. Et 
les ensembles E2, E3, . . . , seront a fortiori non denses dans tout 
intervalle s'il en est ainsi pour E2, E3, .... 

Soit c(E) l'ensemble complémentaire de E, c'est-à-dire l'en- 
semble des points du segment (0,1) qui ne figurent pas dans E. 
L ensemble c(E) est dense entre o et \\ c'est-à-dire que, dans un 
intervalle (a, b) quelconque, il } a des points qui n'appartiennent 
pas à E. En effet, dans («, />), on peut trouver un intervalle (a,, 6, ) 
où il n'y ait aucun point de E, puisque E, n'est dense nulle part; 
de même, on peut trouver dans (a,, 6,) un intervalle («07 ^u) où 
il n'y ait aucun point de Eo, .... Gomme on peut prendre a, 6,, 
«2^25 • • • aussi petits que l'on veut, on voit qu'on aura une suite 
d'intervalles a,ibn emboîtés les uns dans les autres qui tendront 
vers un point a. Il j a donc bien dans («, 6) un point a qui n'ap- 
partient pas à E, sans quoi a appartiendrait, par exemple, à l'en- 
semble Ey,, ce qui est impossible puisqu'il est dans apbp. 

Un ensemble dénombrable d'ensembles de première catégorie 
E^'^, .-., E^^^, ... est encore de première catégorie. Car si 
£(«) ^ £(/o _^ . . . _^ E^'^ -H . . . , l'ensemble des ensembles E^'^ sera 
un ensemble dénombrable d'ensembles E^'" qui ne sont denses dans 
aucun intervalle. 

Tout ensemble qui n'est pas de première catégorie sera, par 
définition, de seconde catégorie ; un tel ensemble, nécessaire- 
ment, sera dense dans au moins un intervalle partiel entie o et i. 

Par exemple, V ensemble des points de (o, i) est de seconde 
catégorie puiscpie, dans un intervalle partiel, tous les points de 
cet inlcrvalle appartiennent à l'ensemble. Il en résulte que si un 
ensemble quelconque E est de première catégorie, r ensemble 
complémentaire c(E) est de seconde catégorie, sans quoi la 
somme de ces deux ensembles [c'est-à-dire rinlervalle (o, i )] 
serait de première catégorie. 



CHAPITRE II. 

NOTIONS SUR LA CONTLNUITi:. 



Oscillation en un point. — Nous nous bornerons d'abord au 
cas d'une fonclion unifoinie cV une variable réelle f{x) définie 
dans un inlervalle pour lequel nous pourrons prendre le seg- 
ment (o, i). 

Soit ^ un point compris dans l'intervalle partii.d {x — /<, x -+■ li). 
L'ensemble des valeurs /(?) a toujours une limite supérieure 
M(^, Ji) s'il existe un nombre fixe B tel que l'on ait toujours 
f{\) << B. S'il n'exisle pas un tel nombre B, nous diions encore 
que /(?) a une limile supérieure M(x, A) = -f-x. De méme^ 
y(J) a, dans tous les cas, y\nQ limile inférieure ni(^x, h) qui est 1» 
limite supérieure de — /(S)- Observons que les limites supérieure 
et inférieure de /{^) peuvent ne pas être atteintes; en particulier, 
il peut arriver que f{^) soit toujours fini et que M soit infini. Tel 
serait le cas pour la fonction y(^) qui est égale à q lorsque x est 

égal à la fraction irréductible — et qui est nulle quand x est 

incommensurable. 

On appellera oscillation dans l'intervalle (x — //, x -{- h) 1» 
quantité tL>(:r, h) = M(x^ h) — /n(x, h). 

Considérons maintenant les limites supérieure et inférieure 
dey(^) dans un intervalle (x — A', x -\- h') plus petit que le pré- 
cédent; soient M(^, A'), m(x, h'). On a M(^, h')<M{x, h) 
puisque les valeurs ([ue prend /{x) dans l'inlervalle x — A', 
X -j- h' sont des valeurs de /(x) dans l'intervalle x — A, x -h A. 
De même m(x, h')^m(Xj A). 

Si donc on fait décroître le nombre positif A, on voit que 
M(^, A) décroîtra constamment ou du moins ne croîtra pas et 
inversement pour m{x, h). D'ailleurs M(^, A) reste manifeste- 
ment supérieur ou égal ix J\x) vlni(x^ A) inférieur ou égal -à/i^x). 



CHAPITRE II. 



3» 

Ces deux qnantités ont donc respectivement des limites M(.r) 
et m{x) lorsque h tend vers zéro de façon quelconque et l'on a 

m{x)^f{x)^M(x). 

Les deux quantités M(.r) et m{x) qui sont bien déterminées en 
chaque point x de l'intervalle o, i sont appelées le maximum et 
le minimum de la fonction f{x) au point x. Il peut d'ailleurs 
arriver que leurs valeurs soient infinies. On doit remarquer que 
les mots de maximum et de minimum ne sont pas employés 
ici dans leur sens ordinaire. Nous définirons aussi V oscillation 
de f{x) au point x, ce sera la quantité 

L<i{x) = M{x) — ni{x) 
qui est toujours positive ou nulle ('). 

La condition nécessaire et suffisante pour que lafonctionf{x) 
soit continue en un point x est que son oscillation en ce point 
soit nulle. 

Par définition, la fonction f{x) sera continue en x si, quelle 
que soit la quantité positive s, on peut trouver un intervalle 
(x — //, X -\- h) tel que l'on ait 

/(.r)-s</(0</(.r) + -., 

lorsque ; est quelconque dans cet intervalle. 
S'il en est ainsi, on aura nrcessairemcnt 

M(^, h)Sf^x)^t, 
m{x, li)>f{x) — z, 
d'où 

ixiix, II) £ -iz. 

D'ailleui's (.)(.r, //) ne croit pas lorsque // (h'croit et sa limite 
est (o(.r). Donc w(.r) est inférieur on égal à un nombre positif ii 
qui est aussi petit que l'on veut et, par suite, (•)(.?*) est nul. 
Réciproquemenl, si ti)(.r) = o, ou auia 

m{x)=f{x) = }>\{x). 



(') Les (léfiiiilions (|uo nous venons de donner s'clendenl immédiatement aux 
/onctions de {)lusicni's variables. 



..^» 



NOTIONS SUH LA CONTINIITK. VIJ 

Or on peut trouver un nombre k tel fjiie l'on ait 

M(:r, h) — ^\(x) < s, 
in{x) — /n( X, h ) < t. 

Si ^ est compris entre x — A et ^ + A, on ;nira 

m(x, h)%/a)<M{x, h), 
d'où 

/(x)-z<fii)<:f(x) + t. 

Ainsi, lorsqu'une fonction /(x) est discontinue en un point x, 
l'oscillation est sûrement positive en ce point. Nous pourrons 
dire que la valeur de l'oscillation en un point est la mesure de 
la discontinuité en ce point. On peut alors compléter ainsi la 
proposition précédente : 

La condition nécessaire et suffisante pour que la mesure de 
la discontinuité en un point x soit supérieure ou égale à un 
nombre h {positif ou nul) est que Von puisse faire corres- 
pondre, à tout nombre positif z^ un nombre h tel que Von ait 
pour \'(\\ <; \Ji\ 

\f{lx)-f{U)\>b-t, 

^, et ^2 étant deux certains points de V intervalle (x — r,, x-\--r^. 
En effet, si cette condition est remplie, on a 

Lo{x, y,) = ^\{x, r^) - ni{x, r,) ^\f{\,) -fiX.)\'> b - t. 

Lorsqu'on fera tendre tj vers zéro, on aura 

im{x)'^ b — î, 

quel que soit £ et, par conséquent, (ù{x)^b. 

Réciproquement, si to(^)^6, on peut trouver un nombre h 
tel que 

10 (^, A ) > b — ' » 

£ étant un nombre positif donné. Or, on peut déterminer deux 
nombres Ç,, $2 dans l'intervalle {x — A, x -h A), tels que 

/(ji)>M(:r, /o-|' -/(^2)>-m(;r, h)-:- 

D'où 



26 CIIVP1TUI-: i[. 

Il résulte presque immédialement de notre proposition que 
Vensemble E des points où la mesure de la discontinuité 
def{x) n^est pas inférieure à b{b~> o) est un ensemble fermé. 

En effet, soit a, un point limite, s'il en existe, de points a oîi 
l'on ait w(a)^6. On peut, dans tout intervalle (a, — r,, a,-|-Y,), 
trouver une infinité de points a; considérons un de ces points a 
distinct des extrémités de l'intervalle. Etant donné le nombre 
j^ositif £, on peut trouver un intervalle (a — r/, a -h r/) assez petit 
pour être compris dans le premier et dans lequel il existe deux 
points Ç, , Ço tels que 

\f{U)-f{U) >b-z. 

Comme \\ et ^o sont compris dans l'intervalle (a, — Tj, a, -f- yj) et 
qu'on peut prendre f\ aussi petit que l'on veut, on aura w(a,)^Z? 
d'après le théorème précédent et par conséquent a, est lui-même 
un point a. 

Bien entendu, il peut arriver qu'il n'j ait pas de points limites 
de points a et dans ce cas E ne contiendra qu'un nombre fini (ou 
même nul) de points a. 

Fonctions ponctuellement discontinues. — On dit qu'une 
fonction y(j;) est ponctuellement discontinue entre o et i , si l'en- 
semble de ses points de discontinuités ne contient aucun inter- 
valle. C'est-à-dire c[ue, dans tout intervalle (ri, b) compris entre o 
cl 1, on peut trouver un point où lu fonction est conlinue. SoitE/^ 
l'ensemble des points où l'oscillation de f{jc) est supérieure ou 

éi^ale à -• Jj'enscmble E des discontinuités dey'(^) est formé de 

tous les points qui fi<^urent dans l'un au moins des ensembles E/. 
Jj'enscmblc 1^],, est un ensemble fermé, qui ne contient aucun 
intervalle puiscju'il est contenu dans E; donc il n'est dense dans 
aucun intervalle entre o et i. Il en résulte que E est un ensemble 
de première catégorie. On sait même quelque chose de plus sur 
cet ensemble, car les ensembles E„ sont fermés. 

Considérons maintenant un ensemble dénombrable de fonc- 
lious pnnclucllcnicnl discon linucs cuire o cl i :/,,.. . ./;,, . . . ; 
dans tout inlcr^alle {a. b) entre o et i, il y a des points oii 



NOTIONS SIR l-A CO.NTI.M ITK. 1J 

tontes ces fonctions sont continues ( ' ;. En efFet, l'onscinlJo fies 
polnls de disconllnuilé pour l'une des foriclions y, , ...^fp^ ... 
est l'enseiTible dénonihrahle des ensembles de discontiniiil** de 
chacune de ces fonctions. Chacun d'eux étant de première caté- 
gorie, il en est de même de l'ensemble total (p. u^.), ce qui dé- 
montre la proposition. 

Continuité uniforme. — On dit que fi^x^ est uniformément 
continue dans un intervalle «, b^ si l'on peut faire correspondre à 
tout nombre positifs un nombre positif A tel cjne l'inégalité 

entraîne, pour deux points quelconques ç, , ;j de rinlervalle (<:/, />), 
l'inégalité : 

l/(^.)-Ab)l<^- 

On voit d'abord que ceci ne peut avoir lieu que siy'(.r) est con- 
tinue en tout point de l'intervalle a, h. 

Réciproquement, siy(x) est continue en tout point de l'inter- 
valle («, 6), extrémités comprises, /(^) est uniformément con- 
tinue entre a et h. La restriction relative aux extrémités est essen- 
tielle; ainsi, sin- est continu pour toutes les valeurs de J? comprises 

entre o et i sauf à l'extrémité j; = o ; sin- n'est pas uniformément 

continu entre o et i . 

On connaît la démonstration classique du théorème que nous 
venons d'énoncer; M. Baire en a généralisé l'énoncé. 

ThéoiiIlme de m. Baire. — Si, dans un inter^aiie (^a, b)^ on 
a : ci)(:z7)<6, on peut faire coriespondre à tout nombre positif z 
un nombre positif -f\, tel que l'inégalité |Ç, — ^^l <C ''. entraîne 
pour deux points quelconques Çi , Ç^ de l'intervalle {a, b). l'iné- 
galité : 

En ellet, si x est un point de l'intervalle (<7, ^), on peut former 

(') Ce théorème a été d'abord démontré par M. Vollerra dans lo cas d'un 
nombre fini de fondions /, . . ., / . 



•28 CHAPITRE II. 

un intervalle {x — h,x -\- Ji) dans lequel on aura : 

iù( X, h) — oj(:r) < ô, 

OU 

M (a;, h) — m{x, h) <C b -h z, 

et alors Ç,, ^2 t^'tanl deux points quelconcjues de cet intervalle, on 

aura : 

j/U'i ) -/(^2)| = M(;r, h) - m(x, h)<h + t. 

Ainsi, à tout point x de l'intervalle (a, b) on peut faire corres- 
pondre un intervalle MN [x — h^ x -\- II) dans lequel l'inégalité 
précédente est vérifiée, et qui contient x à son intérieur au sens 
étroit. Donc, d'après le théorème (p. 9), on peut trouver un 
nombre fini de ces intervalles M,N,, ..., M^N^, tels que tout 
point de (o, i) soit au moins dans l'un d'eux au sens étroit. 

Ceci étant, si l'on marque les extrémités de ces segments, ils 
partagent la droite en un nombre fini d'intervalles a[i dont la 
longueur minimum est un certain nombre positif r, . Si deux 
points ^1.^2 du segment (o, i) sont séparés par une distance infé- 
rieure à Tj, ils sont dans le même intervalle a^ ou dans deux 
intervalles aj^ contigus ; donc ils sont dans le même intervalle M/N^ 
et l'inégalité est bien vérifiée. 

Nombres dérivés. 

Paul du Bois-Rejmond et Dini ont étendu la notion de dérivée 
d'une fonction au cas d'une fonction continue quelconque. (Con- 
sidérons la quantité 

fix-^ h ) — f(x) 



f(x, h) 



h 



où II est une quantité petite et dillérente de zéro. L'expres- 
sion 'f (:r, h) est bien déterminée pour x fixe et h compris entre o 
et Y|; soient L(.r, yj), /(.r, 'f\) les limites supérieure et inférieure 
des valeurs de 'f (:r, h). En supposant jiar exemple y) positif, nous 
dirons que x -\- ti est à droite de x et nous appellerons nombres 
dérivés à droite de x par excès et par défaut les quantités : 

^\if(^) = limite L {x, r^) 

Y1=0 

A^~ f{x) = limite /(jr, r, ) 

Y] = 



NOTIONS SUR LA CONTIM ITl':. 29 

en supposant que Yj lendc vers o par valeurs constaminenl posi- 
tives et non nulles. Les quantités L et /auront hlen eliacune une 
limite (d'ailleurs finie ou non); ear, lorsque y, déeroît, il en est 

manifestement de même de L et de .» et l'on a toujours L ^ /. 

On définira de même les dérivées à gauche ùi^/(x) en sup[)o- 
sant queTi reste négatif. La condition nécessaire et suffisante pour 
(ju'une fonction soil dérlvable en x est évidemment que les quatre 
nombres dérivés soient égaux en ce point. On obtiendrait une 
classe plus étendue de fonctions en imposant la condition que les 
quatre nombres dérivés soient finis. Cette condition s'est intro- 
duite naturellement, indépendamment de la notion de nombre 
dérivé, dans la théorie des équations difiérentielles. C'est la con- 
dition dite de Lipscliilz à laquelle on donne habituellement la 

forme 

!/(;r)-/(:r')!</.-I^-^'|. 

La considération des nombres dérivés permet de généraliser 
certaines propriétés des fonctions dérivables. Par exemple, la 
condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions con- 
tinues (juelconques ne diffèrent que par une constante est que 
leurs nombres dérivés correspondants (supposés finis) soient 
égaux. Nous renverrons pour plus de détails au livre de M. Le- 
besgue (/oc. cit.). 

Intégrale. 

Considérons une fonction /(j;) quelconque, définie entre o cl i. 

/•* _ 
Riemann a donné la définition suivante de l'intégrale / f{x) de. 

Bornons-nous au cas où a<Cb et divisons l'intervalle a, b en 
intervalles partiels séparés par les points (rangés dans l'ordre 
croissant de leurs abscisses). 

et soient M^, mi les limites supérieures et inférieures de /{^') 
dans l'intervalle (^/_i, .^/). Nous supposerons que la fonction est 
bornée entre a et b, c'est-à-dire reste comprise entre deux nombres 
finis M et m. Alors les nombres M/, nii sont finis et il en est de 



3o CHAPITRE II. 

même des deux sommes 

s = niiixi — Xq) -h. . .-h ni,i{Xa — Jr,i-\), 

qui sont comprises entre M (6 — a) el m{b — a). 

M. Darboux a démontré (') que ces deux sommes ont chacune 
une limite bien déterminée lorsque l'étendue de l'intervalle partiel 
maximum tend vers zéro. On pose 

Xb 
f{x) dx, 

-+• 
Vims = / f{x) dx. 

La première est l'intégrale supérieure, la seconde est l'iutégrale 
inférieure. 

Par définition, la fonction f{oc) sera intégrable de a à 6 au sens 
de Riemann [ou intégrable (R)], si ces deux quantités sont égales 

et leur valeur commune sera la valeur de l'intégrale / /(^) dx. 

J a 

Il est d'ailleurs évident que, si la fonction f{x) est continue 
de a à b, elle sera intégrable au sens de Riemann. Car on 
pourra trouver un nombre ù tel que, si x' et x" sont (entre a et b) 
dans un intervalle (juelconque plus petit que 0, on ait 

\f{x')-f{x")\<i. 

Alors, en pienanl les intervalles partiels plus petits que ô, on aura 
S — 5 = (M, — in^) (^1 — a7o) + . . .-f-(M,j— mn){x,i— x,i-i) < z{b — a). 
Va par conséquent, comme £ est aussi petit que l'on veut, la limite 
■de S — s est nulle. 

11 existe des fonctions qui sont intégrables (R) sans être con- 
tinues : telle est, par exemple, la fonction égale à o entre o et i et 
<3gale à I entre 4 cl i . Mais toutes les fonctions ne sont pas inté- 
grables (R). Il est nécessaire et suffisant pour qu'une fonction le 
soit, (pie la (juantité (S — s) tende vers zéro lorsque les longueurs 
des intervalles partiels tendent vers zéro. 



(') Daiuioix, Mémoire sur les fondions discontinues [Annales de l'École 
nor/n(dc, iS-,')). 



NOTIONS SI H L\ CONTINUITK. U 

Il en résiillo (jik; la condition nécessaire et suj/isanle pour 
q a' une fonction bornée f{^x) soit intégrable (Kj est rjue la lon- 
gueur totale i des intervalles sans parties communes^ tels que 
dans chacun d'eux l' oscillation totale soit supérieure ou égale 
à un nombre positif arbitraire z, tende vers zéro lorsque, z tes- 
tant fixe, les longueurs de chaque intervalle tendent vers 
zéro. lin eflfet, quel que soil le mode de division, on aura S — s^z'i. 
Donc es' tend vers zéro si la fonclion est inlégrable (H;. Kécipro- 
quement, remarquons que, dans chaque intervalle, l'oscillation est 
plus petite que M — m. D'où 

S — ;y^(M — m) 3'-+-£(i — a')^(M — m) :r + £, 

cl, lorsque les longueurs des divisions tendent vers zéro, on peut 
prendre £, puis a* aussi petits que l'on veut, par conséquent (S — s) 
tend vers zéro. 

Remarquons que si V oscillation en un point est supérieure ou 
égale à c, V oscillation dans un intervalle quelconque contenant 
ce point sera aussi supérieure ou égale à s. Donc, l'ensemble E' 
des points où rosclllatlon est supérieure ou égale à s est contenu 
dans l'ensemble E des points des intervalles où l'oscillation est 
supérieure ou égale à £, et ceci dans un mode de division quelconque 
de l'intervalle fondamental (les points de division seuls pourraient 
avoir une oscillation supérieure à £, il n'en résulte pas de diffi- 
culté). 

D'ailleurs l'ensemble E' est fermé (p. 26) et par suite mesu- 
rable. Dès lors, si la fonction est*intégrable (R), la mesure d' de E' 
(inférieure à la mesure (^ de E qui peut être rendue aussi petite 
que l'on veut) sera nulle. En particulier, V ensemble des discon- 
tinuités f{x) (qui est la somme d'une infinité dénombrable 
d'ensembles tels que E') sera de mesure nulle. La réciproque est 
vraie; voir Lebesgue (/oc. cit.)^ pages 29 et 109. 

Généralisation de M. Lebesgue. — Pour obtenir l'intégrale 
de Rlemann, on commence par diviser l'intervalle d'intégration 
en intervalles partiels et l'on multiplie la longueur de chacun 
d'eux par une ordonnée correspondante. M. Lebesgue suit une 
marche inverse; il commence par établir des divisions dans Vin- 



3-2 CHAPITRE II. 

Icrvalle de variation (m, M) de/(^), 

Si la f'onclion ne décroissait jamais de a à 6, les points pour 

lesquels on a 

yi-i</{^)<yi 

seraient dans un seul intervalle de longueur e/. Ceux pour lesquels 
on a 

seraient dans un intervalle de longueur e'- (les quantités ei, e\ 
peuvent être nulles). Alors l'intégrale de Rieniann serait évidem- 
ment la limite des quantités 



J — 1 / = 



(•2) S =^eiyi-x-^2^eiyi. 



i — i 1=0 



C'est cette limite que nous prendrons encore comme valeur de 
rintégrale (L) (intégrale de M. Lebesgue) pour une catégorie de 
fonctions beaucoup plus étendue, en généralisant la signification 
des quantités <?/, e-. 

Pour cela, considérons une (oncùon f(x) définie pour tous les 
points d'un ensemble mesurable E et bornée ('). Nous dirons 
qu'elle est intégrablc (L) dans l'ensemble E, si l'ensemble F 
des points de E tels que 

A</(^)<B 

est mesurable quels que soient A et B et sUl en est de même de 
l'ensemble G des points de E tels que 

quel que soit A. En particulier, l'ensemble E peut être un inler- 



(') Dans tout ce (|ui suil nous n'avons considéré, pour plus de simplicilé, que 
des fonctions hornres. Los rcsullalsque nous démontrerons peuvent être étendus 
à certaines fonctions non bornées (i»of> Lebesguk, Annali di Matematica, lyoj, 
p. 259). 



NOTIONS SUK LV CONTINLIIK. 33 

valle («, b) déterminé. Oljscrvons fjiio l'cnsemMe G est rcnscmhic 
des points communs aux ensembles 1',^ tels rjue 

A- i </(.)< A +^^. 

Donc si les ensembles F sont mesurables quels que soient A et Ij, 
il en sera de même des ensembles G. En rcfnplaranl les inégalités 

précédentes par A ^y*(jc)^AH j on voit aussi que si les 

ensembles tels que A^y(^)^B sont mesurables, la fonction est 
intégrable (L). 

Si maintenant m et M sont les limites supérieures de f{x) 
dans E et jKi ? JK27 • • • ? yn-\ des valeurs croissantes intermédiaires, 
avec yQ=im^ ^/j=M, nous pourrons appeler ei la mesure de 
l'ensemble des points tels que 

yi-i<f(^)<yi 
el e- la mesure de l'ensemble des points tels que 

Les expressions (i), (2) donneront donc à S et 5 des valeurs 
finies bien déterminées et, en appliquant à ces sommes le raison- 
nement employé par M. Darboux pour l'intégrale de Riemann, on 
voit que ces deux expressions ont séparément des limites déter- 
minées lorsque les longueurs des intervalles yi — J'i_i tendent 
vers zéro. 

D'ailleurs 



— ^ = 2 ^'(^'~^'-' ) - ^ •^^' 



/=i 



en appelant e la mesure de E et ù^y la plus grande longueur des 
intervalles yi — yi-\- Donc S — 5 tend vers zéro avec A/ et par 
conséquent les deux limites S et 5 sont les mêmes. Cette limite 
commune est l'intégrale de M. Lebesgue, 



(b) ff{x) 



dx 



prise dans l'ensemble E. Il est d'ailleurs manifeste que si deux 

ensembles E, E' sont sans points communs et si la fonction est 

E. B. 3 



34 CHAIMTUE II. 

iiUégrable (L) dans cliacun d'eux, elle sera intégrable (L) dans 
l'ensemble E -h E' cl l'on aura 

(L) f fdx = {L) ffdx^lh) f/cU. 

En parliculier, si E csl Tinlervalle de « à ^ (au sens large ou 
élroil), l'intégrale s'écrira 

(L) f fdx. 

Enfui, n'oublions pas d'observer que S et 5 sont tous deux com- 
pris enUe Me et me. 

Pour que l'intégrale de M. Lebesgue soit une généralisation 
utile, il faut qu'elle comprenne l'intégrale de Riemann comme 
cas particulier. Nous allons montrer qu'il en est bien ainsi : 
Lorsqii' une fonction est uitégrable (R) dans un intervalle (a, b)j 
elle est intégiable (L) et les valeurs des deux intégrales (R) 
et (L) sont les mêmes dans cet intervalle. 

En effet, soit E l'ensemble des points où l'on a A£y(.r)^B. 
Soit e l'ensemble des points limites de E n'appartenant pas à E : 
les points de e sont des points de discontinuités; ils forment 
un ensemble mesurable de mesure nulle puisque la fonction esl 
inlégrable (R). D'autre part, l'ensemble E -t- e est fermé, et par 
suite mesurable. Il en esl donc de même de E. 

Dès lorsy(^) esl inlégrable (L) entre a et b. 

Divisons (a, b) en intervalles partiels par les points en ordre 

croissant 

a7o = a, X\, •••, ^n—ïi x,i-=o. 

Dans rinlervalle (.r/_,, x/) (oii les limites de y sont /;?,, M/), 
on duvd pour les deux intégrales (R) et (L) 



nii ( Xi — Xi-i) <: I f{x) dx < AI/ ( or,- — j-/- , ) . 
D'où 

(L) \ 'fix)dx-{[\) f ^/{x)dx 



{Mi— mi){xi— Xi-i). 



NOTIONS SIR L\ CONTINLITi:. 

Or, pour les deux inlégrales, on a 



Dès lors 









< 2 ( M ,• — nii ){xi— 5",_, ) 

< ( Al — tn)^ -\- t{\ — (j ) 



en appelant a- la lonj^ueur totale des intervalles où l'oscillation est 
supérieure ou égale à e. Puisque la fonction /est intégrable fK), 
on peut rendre £ et <t aussi petits que l'on veut. Donc la difîé- 
rence des deux intégrales est nulle. 

11 résulte en particulier, de cette démonstraticjn, (pie toute 
fonction continue est intégrable (L), ce qu'on aurait pu voir 
directement. 

L'intégrale (L) coïncide avec l'intégrale (R) toutes les fois que 
cette dernière existe, mais l'intégrale (R) peut ne pas exister 
alors que l'intégrale (L) existe. 

Considérons par exemple la fonction f{x) qui est nulle pour 
les valeurs rationnelles de x et qui est égale à i pour les autres 
valeurs. Elle n'est pas intégrable (R) de o à i. Car en un point 
quelconque l'oscillation est égale à i . Mais elle est intégrable (L). 
Car l'ensemble des points rationnels entre o et i (qui est dénom- 
brable) est mesurable et sa mesure est nulle. De même, l'en- 
semble des autres points est mesurable et sa mesure est i. Donc 
la fonction a une intégrale (L) qui est égale à i . 

Nous donnerons d'ailleurs des catégories très étendues de fonc- 
tions qui sont intégrables (L) sans être, en général, inti'grables(R) 

(P- 49)- 



CHAPITRE m. 



SÉRIES DE FONCTIONS REELLES. 



Considérons une série dont le terme général est une fonction 
de X (réelle comme dans tout cet Ouvrage) 

et appelons S// (:r) la somme des n premiers termes de celle série. 

Le premier problème qui se présente dans l'étude de celte série 
est l'étude de sa convergence. Nous ne nous en occuperons pas; 
nous ne considérerons que le cas où l'on sait que celle série con- 
verge pour toute valeur de x entre o cl i . La somme est une 
fonction de ^ que nous désignerons pary(.r). Le second problème 
qui se pose est de chercher les propriétés de S/i(^) qui se con- 
servent à la limite lorsque n croît indéfiniment. M. Osgood a fait 
remarquer que ce problème peut souvent se ramener au problème 
général de l'interversion dans la « double limite » ('). 

Ainsi, on peut se demander si/(jc) est continu, lorsque S/i(:r) 
est constamment continu (c'est-à-dire lorsque Ua est continu). 
Cela revient à chercher si l'égalité 

lim r lim S,j(j^)] = lim [" lim S„(j?)"| 

est exacte. 

De même, on peut se demander si l'intégrale de f{x) est la 
limite de l'intégrale de S,i(^). Or cela revient encore à chercher 
si l'égalité suivante est exacte 



lui) 



'/=/' 



b — a 



I) ^r^ ce 



S„ (a 



a 



] 



= lim 

p z^ as 



7 - /' 

lui) > S,i(a-^g 

n = 




(•) Osgood, Bulletin of the American mathematical Society , nov. 1896, p. 6i. 



SÉRIES DE FONCTIONS RÉELLES. Ij 

Celte question de l'Interversion des limites se présente d'ailleurs 
dans un grand nombre d'autres parties de l'Analyse; par exemple 

dans la dérivation sous le signe / , dans l'expression d'une inté- 
grale double sous forme d'iiuégrales simples, etc. 

Avant d'entrer dans l'étude des problèmes précédents qui 
exigeront certaines restrictions relatives à la continuité des fonc- 
tions M,/(^), nous démontrerons un théorème très général qui 
suppose seulement que la série considérée est convergente;. Dé- 
signons par r,i{x) le reste de la série : i-n[x) ^f{x) — S„(x). 

Si la séj'ic f{x) est convergente pour toutes les valeurs de x 
comprises entre o et \ ^ et si l'on appelle E,^ l'ensemble des points 
pour lesquels \ rn{x)\ est supérieur à un nombre positif t donné, 
aussi petit que Von veut, la mesure de E,j tend vers zéro lorsque n 
croit indéfiniment ('). 

En effet, il nous suffira de montrer que l'ensemble E, limite 
complète de E,j lorsque n croît indéfiniment, a une mesure nulle 
(p. 2i). Or cela est certain, car E ne comprend aucun point. S'il 
y avait un point x^ dans E, il j aurait une infinité d'ensembles E„ , 
E^, ... qui contiendraient x<^\ et par conséquent les quantités 

restant supérieures à s, la série ne serait pas convergente en ^ , . 

Ce théorème, par sa généralitf^, paraît susceptible d'un grand 
nombre d'applications; nous en donnerons quelques-unes. 

Il a été démontré pour la première fois par M. Arzela dans un 
cas particulier (2). 

Continuité de la série. 

Supposons maintenant que les fonctions u,i{x) soient des fonc- 
tions continues dans un intervalle (a, b) où la série est conver- 

(') Dans les applications, l'ensemble E„ sera toujours mesurable. Cependant, 
on peut se passer de cette remarque, en remplaçant dans l'énoncé précédent la 
mesure de E„ par la limite supérieure des mesures des ensembles mesurables 
contenus dans E,^. 

(-) Mémoires de Bologne, 1899. 



38 CHAPITRE 111. 

gente. Il n'est nullement évident que la somme f{jc) doit être 
elle-même continue (comme le montre bien notre interprétation 
par la double limite). 

Remarquons qu'il est tout aussi général de se donner une série 
par la somme de ses n premiers termes S,i(j;) que par le terme 
général w«(.r). Car une série quelconque peut s'écrire sous la 

forme 

Si-h(S2— Si)^...-4- (S,,— S„_i)+.. . 

et par conséquent ce n'est pas construire une série d'une façon 
vraiment artificielle que de la donner en choisissant Sp. au lieu 
de Un- 

Cette remarque faite, il suffît de prendre : 

_i 

pour voir que la série ainsi définie est convergente pour toule 
valeur finie de x et que ses termes sont des fonctions continues 
de X. Cependant la somme de la série est i lorsque :r >> o, 
o lorsque x =■ o, — i lorsque ^ <^ o. 

La question s'est donc posée de rechercher à quelles conditions 
la continuité des termes d'une série convergente entraîne la conti- 
nuité de la somme. 

Convergence uniforme. 

Un premier pas fut fait dans celte voie par l'introduction de la 
notion de convergence uniforme ('). 

Nous dirons (-) qu'une série quelconque /(.r) est uniformé- 
ment convergente dans l'intervalle (a, ^), si, à tout nombre 
positif î donné à l'avance, aussi petit que l'on veut, on peut faire 
correspondre un nombre N tel que l'inégalité /? >> N entraîne dans 
tout Vintervallc (<:/, Z>), 

|/'/,(-r)l<3. 



(') Voir Stokks, Matlicmatical and pliysical papers. Cambriilgc, 1840, 
p. iSG-aiS,'), cl aussi Scidcl cl Lcjcunc-Dirichlet dans la colleclion : OstwalcVs 
Klassiker, n" IIG. Slokcs et Scidel paraissent avoir élucidé en même temps cette 
question, indépendamment l'un de Taulre. 

(^) Voir Tanneiiy. Fonctions (l'une variable. iS8<!, noie de la page 366. 



SKRIES ru: FONCTIONS RKEM.ES. Sg 

Remarquons d'abord que la série f{x) sera convergenlc 
dans (rt, b). Je dis de plus que la continuité des ternies entraî- 
nera celle de la somme. En eHet, si x' et x" sont entre a et h, on 
aura 

(0 \f{x')-f{x")\<\^a{x')-Sn{x")\-r\rn(x')\-.-\r„{x")\ 

et si l'on prend pour n un r\ omhve fixe supérieur à N, la fonc- 
tion 'Sn{oo) est une fonction continue entre a et 6; donc on peut 
prendre un nombre a tel que pour 

\x'—x"\ < a 
on ait 

IS„(^0-S.(^"}I<- 

D'où 

\f{x')-f{x")\<'^z. 

Au contraire, supposons seulement que la série soit conver- 
gente entre a et b. K tout nombre x compris entre a c\ b on 
pourra faire correspondre un nombre JN tel que n^ i\ en- 
traîne |r;i(^)|<< £. Le nombre N sera bien déterminé pour chaque 
valeur de x^ si l'on prend toujours pour N le plus petit nombre 
entier possible. On voit alors qu'il revient au même de dire que 
la série est uniformément convergente entre a el b ou de dire que 
la fonction N(^) que nous venons de définir est (pour cbaque 
valeur de £) bornée dans cet intervalle. 

Si nous supposons de plus que les termes de /(x) soient con- 
tinus, il résulte de ce qui précède que, dans le voisinage d'un point 
de discontinuité .r, def(x), la fonction N(^) a une limite supé- 
rieure infinie pour une valeur suffisamment petite t donnée à î. 
On peut même préciser ce résultat : si l'oscillation co(^) au 
point Xi est supérieure à un nombre positif b, on peut prendre 

pour 0- le nombre -• En effet, supposons qu'en prenant pour t le 

nombre -> la fonction N(:r) reste inférieure à un nombre entier n 

dans un intervalle assez petit (^, — /i, ^r, + A). On pourrait 
prendre un intervalle encore [)lus petit (^i — A,, ^,4- A,) où 
l'oscillation de la fonction continue S,i(^x) serait inférieure à un 
nombre quelconque positif donné, par exemple :o)(:c,) — b — r^, 



4o CHAPITRE III. 

Et alors l'inégalité (i) montre que l'on aurait dans cet intervalle 

|/(:r';-/(^")I<o.(.rO-r„ 
ce qui est manifestement impossible (p. 27). 

La condition de convergence uniforme d'une série de fonctions 
continues n'est pas nécessaire pour la continuité de la série. 
M. Bendixson (') en donne l'exemple très général suivant. Consi- 
dérons une série convergente et à termes continus entre a et 6, 
mais non uniformément convergente, et soit ///(.r) le reste. La 

série 

ri — /'i -h To — ri-\- . . . 

converge vers zéro entre a et 6, mais elle n'y converge pas uni- 
formément. 

Pour obtenir une condition nécessaire et suffisante, il faudrait 
donc donner une définition de la convergence uniforme moins 
serrée, pour ainsi dire, que celle que nous avons donnée. 

M. Dini (-) a réalisé ce but en partie au moyen de ce qu'il 
appelle la convergence uniforme simple. 

On dira qu'une série a une convergence uniforme simple entre 
a et b^ si : i" la série reste convergente dans cet intervalle; 
2" pour tout nombre positif £ aussi petit que l'on veut et pour 
tout nombre entier N aussi grand que l'on veut, il existe un 
nombre entier /?^]N tel que l'on ait 

\rn{^)\ < £, 

pour tous les points de l'intervalle (a, b). 

Cette définition comprend comme cas particulier la définilion 
ordinaire de la convergence uniforme. Par conséquent, M. Dini a 
étendu les résultats précédents lorsqu'il a démontré que, si une 
série à termes continus a une convergence uniforme simple, 
elle est continue. 

Ainsi le dernier exemple que nous avons donné est une série 



(') Voir Bkndixson, Sur la rorncrgence uni/orme des séries, Ofversigt of. 
Kongl. Vclcuskaps-Akadciniens l'ôrhandlingar, 1897, n" 10. Stockholm. 
(-) Dini, Fundanienti per la teorica délie Funzioni di variabili reali, Pise, 

1878, p. 10.1. 



SÉRIKS DK FONCTIONS RÉELLES. 4' 

qui a une convergence uniforme simple, car les restes de riings 
impairs sont nuls. 

Mais cette extension n'est pas encore suffisante. M. Bendixson 
(/oc. cit.) donne en effet des exemples de séries convergentes, à 
termes continus, dont la convergence n'est pas une convergence 
uniforme simple et qui définissent pourtant des fonctions con- 
tinues ( ^ ). 

Ainsi, considérons la série telle que 

n{i — x) 



Su{x)=^x" — i 



1 -f- /l ( l X ) 



Les termes sont continus lorsque x reste compris entre o et i et 
elle converge vers zéro, même pour x ^= \ . Pourtant sa conver- 

gence n est pas uniiorme, car pour x ^= \ ? on a 



\ra{x)\ = lS„(:r)I = 



I 
II 



I I 

•2 e 



Par suite, pour tout nombre /i, il existe un nombre x pour lequel 
|/*«(^)| est supérieur à un nombre positif fixe. 

Convergence quasi-uniforme. 

C'est M. Arzela qui est parvenu le premier à la condition 
nécessaire et suffisante cherchée. 11 l'obtient au moyen de ce que 
nous aj^pellerons la convergence quasi-uniforme (2) qui est une 
nouvelle extension de la convergence uniforme ordinaire. 

Nous dirons i\\\ une série converge quasi-uniformément entre 
a et b si : i"" la série converge entre a et b\ i"" on peut faire 
correspondre à tout nombre s positif aussi petit que Von veut 
et à tout nombre N aussi grand que l'on veut, un nombre fini, 
IN'^IN, tel que, pour chaque valeur de x comprise entre a et b, 
il existe un entier n^ compris entre N et N', et tel cjue Von ait : 

(') Voir aussi Jordan, Cours d'Analyse, 2" édition, t. I, p. 3i5. 

(2) M. Arzela l'appelle convergence uniforme à traits (a tratti). Celle déno- 
mination se rattache à la représentation géométrique dont M. Arzela fait grand 
usage {Mémoires de Bologne, 1899). 



42 CIIAPITRI': IH. 

Nous allons maintenant démontrer le théorème qui résout com- 
plètement la question de la continuité. Ce théorème a été obtenu 
par M. Arzela par une méthode assez compliquée. Mais, comme 
il arrive bien souvent, une proposition qui a été obtenue au prix 
de grands efforts peut, quand son énoncé est connu, être démon- 
trée très simplement. 

La condition nécessaire et suffisante pour qu! une série à 
termes continus entre a et b représente une fonction continue 
dans cet intervalle est qu^elle y converge quasi-uniformément. 

La condition est suffisante. En effet, d'abord la série est con- 
vergente entre a et ^; soient f{x) sa somme et x' un point quel- 
conque entre a et b. On peut déterminer un nombre N tel que 
l'inégalité /?, > N cntiaîne 

\rn.{x')\< y 

Mais, puisque la série est quasi-uniformément convergente 
entre a et ^, on peut faire correspondre à î et N un nombre N'>> N, 
tel que, pour toute valeur de x comprise entre a et b^ il existe un 
nombre n^ compris entre N et N' pour lequel 



3 



\rnjx)\- 
Or, quel que soit .r, /?x> N, donc 

\rnA^')\< \' 

D'autre part, il est possible de déterminer un nombre //y,, tel 
que l'inégalité \x' — x"\ <ilip entraîne 

|SN^/,(./-')-SN+p(i-")|< y 

Donc, si a est le plus petit des nombres 

(dont il V a un nomhvc fini)^ on aura sûrement 

lS.,..(.r')-S„..„(.r")|<i, 
pour \x' — x"\ << a, puisque n^^ est compris entre N et N'. 



SKnil-S DlC FONCTIONS HKKI.I.KS. 

Et comme on aura 



43 



\rnA^-"}\ ^y \rn,.U')\<^y 



on voit (jne 



\Ax")-f{x')\ 



pour 



Donc la fonction y* est continue en un point arbitraire x' de i la- 
lervalle. 

Réciproquement, supposons la série convergente et sn somme 
continue (ainsi que ses lermcs) entre a et h. Soit x' un point 
compris enlre a et b^ on peut déterminer h lel que l'on ail 

\f{x)-f{T')\<-^ 

pour 1^ — x'\ <. Il' Mais soit N un nombre donné aussi grand que 
l'on veut; on peut déterminer un nombre /i >> jN de façon que 
Ton ait 

\rnU-)\<y 

Le nombre n étant ainsi choisi, la fonction S/,(^) est continue et 
l'on peut déterminer Ai, lel que Ton ait 



IS„(^-)-S,(x')| 



pour 



\t — .x'\ < /?i, 



Or 



\r„{x)\-l\f{x)-f{x')\-^\^,,{T)-'^n{x')\-^\ra{x')\. 

Dès lors, si a est le plus petit des nombres k et A,, on a 

\f\i{x)\<z pour jx — a"'|<a, 

n étant un nombre fixe supérieur à N. 

Il suffit pour le raisonnement précédent que f{x) soit continu 
au point x' . Mais, puisque y(jc) est continu de a à 6, on pourra 
déterminer pour chaque point x de cet intervalle un nombre // >> N, 
et un intervalle partiel ayant ce point pour Fuilieu tel que |/'«(-^)| 
reste inférieur à s d.ins cet intervalle partiel. Alors, tout point 
de (<7, b) est intérieur au sens étroit à Tun de ces intervalles par- 
tiels; on peut donc (p. 9) trouver un nombre fini de ces intervalles : 



(Xi 



OC;. J"i 



-4- a/) {i= I, ..., p) 



44 CHAPITIIE III. 

qui jouissent de cette propriété. Par conséquent, à tout point x 
de (a, h) on peut faire correspondre un entier /i^;, tel que l'on ait 

Et les nombres Ux sont pris parmi les nombres /i^..; on peut 
donc déterminer un nombre N' (le plus grand des entiers /i,., qui 
sont en nombre limité yo) tel que n^ reste compris entre ?s^ et N'. 

On peut donner, de cette réciproque, une démonstration un 
peu différente. La série étant convergente entre a et b^ on peut 
faire correspondre à chaque nombre x compris entre a et b^ un 
entier Ux supérieur à un nombre fixe donné N indépendant de /i, 
tel que 

Et le nombre rix sera une fonction bien déterminée de x^ si 1 on 
prend pour Ux le plus petit entier possible supérieur à N satisfai- 
sant à cette condition. Je dis que celle fonction est bornée supé- 
rieurement. En effet, s'il n'en était pas ainsi entre a et b^ la fonc- 
tion «^ne serait pas non plus bornée dans l'un des deux intervalles 
moitiés, ni dans l'un des intervalles moitiés de celui-là, et ainsi de 
suite. On formera ainsi des intervalles («/?, h p) emboîtés les uns 
dans les autres et dont la longueur tend vers zéro. Ils ont donc 
pour limite un certain point \ de l'intervalle (a, b\ Or nous avons 
vu, dans la première partie de la démonstration précédente, qu'on 
pourrait déterminer A et /?, > N tels que 

VnX^)\<'^ 

dans l'intervalle \ — /i, ç + li. Mais si petit que soit //, on pourra 
prendre y> assez grand pour que (^^, bp) soit conlenu entre ; — A 
et i-H A, et alors dans l'intervalle (a^, bp^ la fonciion iix serait 
bornée supérieurement (nx^/u), ce qui amène une contradiction. 
On peut vérifier sur l'exemple que nous avons donné d'une 
série convergente à termes continus dont la somme n'est pas con- 
tinue que celte série n'est pas quasi-uniformément convergente. 



Nous avions pris S^ = x'-" ' ; pour jc ;> o, le reste est i — x^" '. 
Dans rinlervalle (o, i), si l'on veul que ce reste soit inférieur à £, 



SKIIIKS DK FONCTIONS KKKLLES. 45 

il faudia que l'on ait 



>. Il — I > 

i.-L 



par conséquent la valeur minimum de n ne sera pas bornée supé- 
rieurement dans cet intervalle. 

Les considérations qui précèdent s'étendent immédiatement 
aux séries de fonctions de plusieurs variables. Ainsi la condi- 
tion nécessaire et suffisante pour qiûune série de fonctions de 
plusieurs variables continues par rapport à leur ensemble 
dans un domaine fermé D ait pour somme une fonction con- 
tinue dans D est que la série converge quasi-uniformément 
dans D. Gela veut dire qu'on peut faire correspondre à un nombre 
entier N et à un nombre positifs, un nombre entier ÎS'^IN tel que 
l'on ait en tout point A de D : |/*«J<C £, fi^ étant un certain nombre 
entier déterminé par A et compris entre N et N'. La démonstration 
est la même que celle que nous avons donnée. 



Intéi^ration des séries. 

Deux problèmes se posent tout d'abord, quand on veut inté- 
grer une fonction représentée par une série : i'^ En supposant la 
série convergente et à termes inté^rables entre o et i, la somme 
sera-t-elle aussi intégrable? 2" Si la somme et les termes de la 
série sont intégrables, est-ce que l'intégrale de la somme sera la 
somme des intégrales des termes? Le premier problème a deux 
solutions différentes selon que l'on se place au point de vue de 
Riemann ou à celui de M. Lebesgue. Mais il suffira évidemment 
de résoudre le second problème au sens de M. Lebesgue pour en 
obtenir la solution au sens de Riemann comme cas [)articulier. 

M. Arzela (') a montré que la condition nécessaire et suj/i- 
sante pour que la somme f{oc) d' une série convergente de a 



(') A.RZELA, Mémoires de l'Académie royale des Sciences de r Institut de 
Bologne, 27 mai 1900. 



46 CIIAPITHE III. 

à b et dont les termes Ua sont intégrables (R) de où i, soit 
intégrable (R) de o à i est que la série ait une convergence 
quasi- uniforme ezv général entre o et \. 

Cette dernière expression a ia signification suivante : i" la 
série y(^) est convergente entre o et i et sa somme est bornée; 
2° étant donnés les nombres 5, £, N, on peut déterminer entre a 
et b des intervalles 1 en nombre fini et sans partie commune, de 
longueur totale supérieure à i — o, tels que l'on ait |///, (.3:^)1 <* 
lorsque x appartient à un intervalle 1, le nombre entier /i, (con- 
stant dans un intervalle I) restant supérieur à N ('). 

Suj>posons ces conditions vérifiées et que les termes de la série 
soient intégrables (R)- Dans tous les intervalles I en nombre/?, 

on aura 

\f{x) — 'àa^{x)\ <£; 

par suite, l'oscillation de f{x) dans I sera au plus égale à 2£ 
augmenté de l'oscillation de S,/ . Or, dans l'intervalle 1, S^ est 
intégrable (R); on peut donc y former un nombre fini d'inter- 
valles J, sans partie commune, de longueur totale inférieure à - 

et en dehors desquels l'oscillation de S,t est inférieure à î. Appe- 
lons K les intervalles sans parties communes intérieurs aux. 1 et 
extérieurs aux J; dans ces intervalles, l'oscillation de/'(:r) sera 
inférieure à 3£. Mais la longueur totale des K entre o et i est 

■s 

supérieure à i — o — p - = i — 20. Dès lors, on aura pu diviser 

le segment (o, i) en intervalles tels que la longueur lotale de ceux 
où l'oscillation surpasse 3e soit inférieure à 20. Comme s et o 
peuvent être pris aussi petits que l'on veut, la fonction bornéey(^) 
est intégrable (R) entre o et 1 . 

Récipro(]uement, admettons quey(;r) soit intégrable (R), ainsi 
que les termes de la série (supposée convergente deo à i). Soient, 
d'autre part, Fl'ensemble des j)oints oùy(j:)est continu, E,^ l'en- 
semble des points où S„(jp) est continu, E l'ensemble limite cqm- 



(') I^a série serait quasi-uniforméinenl convergente si ceUe condition était 
réalisée pour des intervalles I en nombre Hni sans parties communes qui retn- 

/>lisse/if tout le sci^r/wni (o. i). 



i 



siiUiLS ui: roNCTioNS ni;i:i.i.i;s. \- 

pleL des Kfi. Les ensembles \i,i et h ont j)onr mesures i ([>. .'^r), 
il en est done de même [)our 1*^ (p. lii). Or on a 

Les deux ensembles du second membre n'ont pas de point eom- 
mun ; donc 

mesure( E, F) = mesure F — inesure[C(E), F]. 

Or l'ensemble [F, G(E)] est contenu dans C(E) dont la mesure 
est nulle. Par suite, la mesure de l'ensemble G des points com- 
muns à E et F est égale à i — u = i . Ceci étant, soit x' un point 
de G, il est contenu dans une infinité d'ensembles E„ : E^ , 
F 

Or on peut déterminer un nombre q tel que l'inégalité /n > y 

entraîne \rfn{x')\<^ ^- Soit maintenant un nombre N donné à 

l'avance; prenons parmi les nombres /i^, n,-^ ..., qui croissenl 
indéfiniment, un nombre déterminé n supérieur à ^ et N. On 
aura 

De plus, x' sera commun aux deux ensembles E^ et F. Par con- 
séquent, on pourra déterminer un nombre h tel que l'inéga- 
lité \x — .r'I << h entraîne 



et 



\f{or)-f{x')\<-^ 



|S„(:r)-S,,(:z-')|< y 



D'où 

k„(:r)|<|r,(^')| + |/(r)-/(:r')I-l-|S,(:r')-S,(\r)|<s. 

Ainsi tout point x' de l'ensemble G est intérieur au sens étroit 
à un intervalle ï pour lequel il existe un nombre n tel que Ton ail 
en tout point de l'intervalle l 

|rn(^)|<- 

Or l'ensemble complémentaire G(G) ajant une mesure nulle, 
ses points pourront être tous enfermés au sens étroit dans des 



48 CHAPITRE m. 

intervalles J sans point commun de longueur totale inférieure 
à r\ (M. Alors tous les points du segment peuvent être enfermés 
au sens étroit chacun dans un intervalle I ou J. Par suite, on peut 
en trouver un nombre fini qui les contiennent tous au sens 

étroit li,Ï2j •••iI/7>Ji7 ...,J^. 

Les points qui uc sont pas intérieurs au sens étroit à l'un des 
intervalles J forment un ensemble G, intérieur à G et de mesure 
supérieure à i — r^. Us sont tous contenus dans I,, L, ..., I^, 
qu'on peut supposer sans point commun et compris entre o et i, 
intervalles qui auront une longueur totale supérieure à i — r^. Or, 
à chacun d'eux, I, correspond un nombre entier /?,>N tel que 
pour tout point de I, on ait 

l''«,(-2?)|< £. 

Gomme £, 't] et N sont arbitraires, la série a une convergence 
quasi-uniforme en général, entie o et i. 

La résolution du problème que nous venons de traiter est bien 
plus simple si l'on se place au point de vue de M. Lebesgue. 

Si l'on considère une série de fonctions bornées inté- 
grables (L) ; u^^ u>^ . . . , dont la somme f{x) est convergente 
entre a et b, cette somme supposée bornée est aussi inté- 
grable (L). 

L'ensemble des points E tels que Ton ait 

A1/(>)1B 

est compris dans l'ensemble limite restreint F^ des ensembles E„ 
des points tels que 

A- -<S,(^)<B+ i, 
P P 

p nombre entier fixe. 

Cet ensemble F^ est mesurable et l'ensemble E est évidemment 
l'ensemble des points communs aux ensembles F,, Fo, . . ., F^, .... 
Donc E est mesurable quels que soient A et B ; par conséquent, 
f{o^') est intégrable (L). 

La proposition que nous venons de démontrer peut s'énoncer 
ainsi : Toute fonction bornée f{x)^ limite de fonctions boinécs 
intégrables (L) est elle-même intégrable (L). Sous celte forme, 

(') Voir par exemple Lkbesgue, Annali di Matematica, 1902, p. 287. 



SIÎRIIÎS DK FONCTIONS REELLES. 49 

elle nous fait connaître des champs de plus en plus étendus de 
fonctions intégrables (J^); par exemple, toute fonction bornée 
limite de fonctions continues est intégrable (L). 

Si une série de fonctions bornées intégrables (I^) est con- 
vergente de a à b et si l'on a l/-,i(^)|<M quels que soient 
V entier n et l'abscisse x dansi^a^ 6), la série de$ intégrales (L) 
des termes est aussi convergente et sa somme est V intégrale (L) 
def{x). 

En elFet, on ay"^= S„-|- K«; or il est facile de voir que la somme 
des intégrales (L) de deux fonctions est égale à l'intégrale (L) de 
leur somme. Donc 

pb pb pb pb 

(L) / f{x)dx — (L) / Uidx — ... — (L) / u,idx = {L) j r^dx. 

Or, puisque la série «(+• • • est convergente de « à ^ l'en- 
semble E des points tels que |/',i(^)| soit supérieur ù £ a une 
mesure a,^ qui tend vers zéro avec n. Et l'on a 

/ Vu dx = I r/i dx ^ / 7'n dx, 

• ^a '^^i: ^C(E) 

d'où 






Vu dx I < iM oT/i -4- £( 6 — a ), 



M étant supérieur de « à ^ à la fonction bornée |/Vi(.x')] quel que 
soit n. Comme on peut prendre £ et ^a aussi petits que Ton veut 
lorsque n croît indéfiniment, la proposition est démontrée. 

Dans l'énoncé du théorème, on peut remplacer l'intervalle (a, 6) 
par un ensemble mesurable quelconque E, la démonstration sera 
entièrement analogue. 

Le théorème est encore vrai, si l'on prend l'intégrale de Rie- 
mann (') au lieu de l'intégrale de M. Lebesgue, d'après notre 
remarque (p. 34), à condition que la somme de la série soit inté- 
grable (R). 

(') Le cas où les fonctions / cL /„ sont continues avait été f!éjà obtenu jua' 
JM. Osgood {American Journal, 1894). 



■ ^899 tm — 



E. B. 



CHAPITRE lY. 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES 
PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES. 



THÉORÈME FONDAMENTAL DE WEIERSTIlASS. 

Une jonction continue quelconque peut être représentée par 
une série de polynômes. Telle est la proposition fondamentale 
qui a été établie par Weierstrass ('). Diverses démonstrations en 
ont été données ; elles peuvent toutes se ranger en deux catégories. 
Les unes, comme celles de Weierstrass et de MM. Picard (-), 
Lerch (=*) et Volterra ('•), fout appel à des notions d'un caractère 
transcendant; les autres, comme celles de M. Lebesgue (-') et de 
M. Mittag-Leffler ("), sont d'une nature tout élémentaire et peu- 
vent être rattachées à un important Mémoire de M. Runge ('). 

Toutes les méthodes dont nous venons de parler conduisent au 
résultat suivant : Etant donnée une fonction f{x) continue dans 
H intervalle {a, b)^ extrémités comprises, on peut trouver un 
polynôme P(^) tel que Von ait dans tout cet intervalle : 

I/(^)-P(a.)|<t, 

tétant un nombre positif , donné à V avance, aussi petit que l'on 
veut. 



(') Weierstrass, jBer/me/- Sitzungsberichte, i885. 

(-) Picard, Traité d'Analyse, t. I, p. 258. 

(•^) Lerch, Bozpravy ceské Akademie (2« cUssc) t. I, n" 33 (1892) et l. II, 
M" 9 (1893). Je ne connais ces Mémoires de M. Lerch que par la citation qu'il en 
fait lui- mémo dans son Mémoire : Sur un point de la théorie des fonctions 

énératrices d'Abel {Acta Mathematica, t. XXVII, p. 339), où se trouve aussi 
une démonstration du théorème de Weierstrass au moyen de séries trigonomé- 
triqucs. 

(<) Volterra, liendiconti del Circolo mateniatico dl Palerrno, 1897, p. 83. 

(*) Lebesoue, Bulletin des Sciences mathématiques, iSgS^ p. 278. 

(6) Mittaq-Lefkler, liendiconti del Circolo mateniatico di Palermo, 1900. 

C ) RuNQE, Acta mathematica, i885, p. 38;. 



REPRÉSIÎNTATION DKS FONCTIONS COMI.M I.S. 5l 

Supposons, pour le mornenl, cette proposition établie et appe- 
lons Pn{^) le poljnome qui correspondrait à la valeur — de t. 

Vn(^) sera la somme des n premiers termes de la série de po- 
lynômes : 

(S) P,-4-(P,-P,)--...^(.P.-P«_, )-+-.... 

Et l'on aura |./*(-^) — P„(^)|<C£, pour tontes les vaieiivs 
de X comprises dans V intervcdle (^a, b). Donc la série S con- 
verge uniformément vers f\x) dans cet intervalle. 

Elle converge même absolument dans cet intervalle, car on a 

Cherchons à étendre ce résultat au cas où l'intervalle que l'on 
considère comprend toute la droite. 

Nous supposons quey(^) soit continu pour toute valeur réelle 
de^. D'après ce qui précède, on pourra trouver un polynôme Q,j(^), 
tel que l'on ait dans IHntervalle (— <7„, -\- bri) : 



[/(:r)-Q,(^)l<-, 

<^«5 bn croissant indéfiniment avec n. 
Alors la série 

Qi+(Q2-Qi)+(Q3-Q2)+...^(Q.-Q.-,)^... 

converge absolument vej's f[x) pour toute valeur de x. 

Mais, en général, elle ne converge pas uniformément sur toute 
la droite. Tout ce qu'on peut dire, c'est qu'elle converge unifor- 
mément dans tout intervalle fini. 

Méthode de Weierstrass. — La démonstration de VVeierstrass 
est très simple et le principe en est utile dans bien d'autres ques- 
tions. Elle repose sur le calcul bien connu de l'intégrale 



f 



e-^'dt. 



(Mais on pourrait refaire le raisonnement de Weierstrass avec une 
autre intégrale jouissant de propriétés analogues.) Cette intégrale 
a un sens et sa valeur est y/ir. 11 en résulte, en particulier, que, étant 



52 CHAPITHE IV. 

donné le nombre positif oj, on peut toujours trouver un nombre A 
tel que l'on ait 

/ e-f' dt < o) 

pour a >> A. 

Nous allons d'abord montrer que l'on a 

f{x) = \\m'h{x, /c) 

A- = 

avec 

J;(^, /c)= — — / f{ii)e \ ^ / du, 
A' v/t: J- „ 

k étant nn nombre positif el/(x) une fonction bornée uniformé- 
ment continue pour toutes les valeurs de jc; nous désignerons par 
M sa limite supérieure. 

En effet, soit h un nombre positif quelconque. O.) aura 

OU, en posant u z= x ^ At, 

^t.^(t,A)= f f(x-i- At)e-''dt 

k 

_h 

-+- r f{x-^-kt)e-''dt+ f ' f{.r-^kt)e-''dt. 

La première intégrale peut s'écrire 

/(.r + AO,) f \-('-af =f(T-r-h^i)U/~ — -?. f e-''-df\ 
' "Â- \ "a- / 

en désignant par 0| un nombre compris entre — i et -4- i . 
De même, on a 

(-+-00 ^-4- =c 

f{x-T-kt)e-'"-dt = 0:,M e-''dL 

/■ À 

/ /(.r-t-AOe-'V/ = O3M / e-'%/^ 



REPHKSENTATION DKS FONCTIONS CO.NTINLKS. 
Il 



53 



avec IQ2I <C! 1 5 l^al < I • * ^i'? pour y > A, on a 

A- 
et, d'autie pari, on a 



pour II << a. 

En résumé, pour II << a cl Â" << — » on a 

les nombres Q, B', 0" restant compris entre — i et -4- 1 . 
Ou 



•|(^, k)-A^) 



U H ^ 2 -^ — '^'MJ OJ 



y/x 



v/. 



ou enfin, en supposant to <^ 1 , 



|4.(x, /0-/(.r)I<(3-i-i^ 



Le nombre a peut être déterminé indépendamment de x puisque 
f{x) est uniformément continu pour toutes les valeurs de x. Par 
conséquent, si 'r\ désigne un nombre aussi petit que l'on veut, on 



peut trouver 
Ton ait 



' /en prenant 0)= -^rr \ i^m nombre a, tel que 



^{x, k)-f{x)\<-r^, 



• OC 

quel que soit x^ pourvu que l'on ait A <C — • 

Autrement dit, '}(.r, k) tend uniformément xevs /[x) lorsque 
/i tend vers zéro. 

Maintenant, considérons l'intégrale ^{x^ A); je dis que c'est 
une fonction entière de x. En effet, posons :: = ; 4- rr, , on aura 



:y^*7(„)[sin^i^i=il^]c-(^^)'rf«j. 



54 CMAPlTUi: IV. 

J^es deux intégrales sont celles qu'on obtient en remplaçant 
dans '^^{x^ k) la fonction/(?^) par la fonction 

J(u) cos j f>Li J(u)sin 



Ces deux dernières fonctions sont bornées et uniformément 
continues quel que soit u. Par conséquent, r!/(s, A) est une fonc- 
tion finie et bien déterminée de ç et de y,. On verrait facilement 
qu'il en est de même de ses dérivées en ^ et /] qui vérifient les 
relations de Cauchj; en définitive, '}(c, /r) est une fonction 
entière de z. Par suite, on peut écrire 

^ ( .r, /■ ) — Cy — G 1 X -+- Go .r^ — . . . -1- G«a7« -^ . . . , 

les quantités Co= '^(o, A), C, = '^(o, A), . . . étant évidemment 
réelles avec A. J^e second membre est une série uniformément 
convergente dans toute région finie du plan; donc on peut prendre 
un noml)ie n tel qu'en posant 

P(x) = Go-+- Cix -+-. . .^ C,iOc'', 
on ait 

\'1{X, /.■)^P(T)\< _' 

pour toute valeur de a: comprise dans un intervalle quelconque 
donné d'avance. Et si l'on a pris, comme il est possible, A" assez 
petit pour que l'on ait, quel que soit œ entre les limites précé- 
demment fixées, 

on aura 

\V(x)-f{x)\<t 

pour toute valeur de x, comprise dans l'intervalle donné. 

Alors, soit oÇx) une fonction continue dans l'intervalle (a, b); 
si l'on prend [)our /(^) une fonction égale à 'f (-c) entre rt et 6 et 
égale à '^(rt) pour x'^a el à '^(/>) pour x^b., la fonction /'(.r) sera 
bornée et uniformément continue quel que soit x. On pourra 
donc lui aj)pliqucr la méthode précédente et l'on aura un po- 
lynôme 1*(^), tel que 

lP(^)-cp(.r)|<£ 

entre a et b. Nous avons ainsi atteint notre but. 



REPRKSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 5 3 

Si la fonction f{x) est bornée et uniformément continrie qnel 
que soit x^ la méthode même de Weierslrass permet de la repré- 
senter par une série de polynômes qui converge uniformément et 
absolument dans tout intervalle fini. C'est la série 

p.-i-(P2-Pi)H-...-hn^-p._,) + ..., 

où l'on a, quel que soit x entre — n et -\- n \ 

\Vn{x)-f{x)\<^^^ 



AUTRES DEMONSTRATIONS. 

Vu l'importance du théorème fondamental, nous allons en faire 
connaître plusieurs démonstrations, à certains égards plus simples 
que celle de Weierstrass. 

Nous ne donnerons pas la méthode de M. Picard (reposant sur 
l'emploi des séries trigonométriques), qui se trouve exposée dans 
son Traité d'Analyse. 

Les méthodes que nous allons développer sont fondées sur 
l'emploi de lignes polygonales comme courbes approchées de la 
courbe conlinue j>^ =:/(^). 

Soity"(^) une fonction continue de a à b] on peut trouver un 
nombre ô, tel que l'inégalité \x' — x"\ << o, entraîne 

Considérons une division de l'intervalle (a, b) en intervalles 
partiels, tous plus petits que o, séparés par les points 

Puis inscrivons dans la courbe y =y*(^) une ligne polygonale 
dont les côtés se projettent sur (d x suivant ces intervalles. Cette 
ligne polygonale représentera une fonction continue y z=z oi^x). 
La valeur de cp(^) est égale à fi^x^ aux points de division; 
lorsque ^ est compris dans l'intervalle (^i_,, jrf),cp(.r) est compris 
entre /'(.r/._, ) et f{xi) elf(x) entre 

f(Xi^i)-~^ et, /(.r/)-T-7 



56 CHAPITRE IV. 

OU entre 

J{Xi)— 7 et /(:r/_i)-4- f • 

4 4 

Dès lors, on a entre xi et jr/_, : 

I/(^;-o(:r)|<i 

et, comme s est indépendant de l'intervalle partiel considéré, 
cette inégalité a lieu partout entre a et h. Il nous suffira mainte- 
nant de trouver un polynôme P(.r) tel que Ton ait 

lcp(^) — P(a7)i< i 

entre a et h^ pour atteindre notre but qui est de vérifier par un 
polynôme P l'inégalité 

|/(;r) — P(a7)|<£. pour a^xlb. 

Les méthodes que nous allons exposer ont précisément pour but 
de déterminer un polynôme P(^) tel que Ja courbe jk = P(^) 
approche autant que l'on veut d'une ligne polygonale donnée. 

Méthode de M. Volterra. — On sait( ^ ) qu'une fonction pério- 
dique quelconque g{oc), (de période 2(jj) peut être développée 
en série de Fourier 



;j = + 00 



, . , V r iiT,x . n-.T 

(l) g{x) = a^-^ ^ a,iCos— h^/iSin— — - 



n - 1 



qui converge uniformément quel que soit x, pourvu que cette 
fonction soit continue et qu'elle n'ait qu'un nombre fini de maxima 
et de minima dans un intervalle d'une période. 

M. Volterra (-) applique ce résultat à la fonction j^^ = ^(jr) 
obtenue de la manière suivante. 'So\i y =^ '^{x) l'équation de la 
ligne polygonale donnée qui n'est définie qu'entre a et b. On peut 
ajouter un côté à cette ligne polygonale de façon que les ordon- 
nées des sommets extrêmes (en a par exemple et en c extérieur 
à ab) soient les mêmes. Ceci fait, nous prendrons pour fonc- 



(') Voir par exemple : Picard, Traité cV Analyse, t. I, p. 22 | et 289. 
(^) Voir aussi Lkrch, Acta mathematica, t. XXVII. 



REPRÉSKNTATION DKS FONCTIONS CONTINUES. J7 

lion g{x) la fonction tcllf; (jiic l'éfjiialion y:=rr(x) représente 
la ligne poljg-onalc rjiic nous venons de former et toutes celles 
que l'on obtient à partir de celle-ci par une translation parallèle 
à O^ et égale à /^(c — a) (n entier positif ou négatif rpielconruie). 
i^a fonction g{x) coïncidera avec '^(oc) entre a el b; elle sera de 
plus uniforme, continue et jx'riodique. Soit aoj^fc — a)j la 
période. On pourra appliquer la formule (i) et en particulier 
prendre/? assez grand pour que l'on ait entre a et b 



.•?-(^) 



«o~ 



n - T 



a,, ces 



h a sin 



n~.T 



} 



n = \ 

nrcx 



nnx 



Les expressions cos — ^? sin '- sont des fonctions entières 

de x\ on peut donc prendre dans leurs développements suivant 
les puissances croissantes de x un nombre de termes assez grand 
pour que les polynômes obtenus en diffèrent aussi peu que Ton 
veut. Par conséquent, puisqu'il n'entre dans noire inégalité qu'un 
nombre fini p de ces expressions, on pourra trouver un po- 
lynôme P(x) tel que l'on ait, 



a. 



1( 



ri'KX 



a,i cos 



. TIT.X , n - N 

b,i sni — \\x) 



< - 
1 



Et, puisque o^(^) = o(^) entre a et 6, on aura dans cet inter- 
valle 

\o{x) — V{x)\<z. 

Nous avons démontré en passant qu'on peut représenter une 
ligne polygonale (et par conséquent une fonction continue quel- 
conque) au moyen d'une suite finie de Fourier 



«0 






a,, ces- 



JITZX 



nr.x 



sin 



to 



avec une approximation donnée à l'avance dans un intervalle fini 
déterminé. 



Méthodes élémentaires. — Soient 

Xq = (Zj X \ , "3^2) • • • j "^11 — 1 1 ^11 ^^ ^ 



58 CHAPITRE IV. 

les abscisses des sommels de la ligne polygonale j' = ^(j:"). 'f («^) 
est une certaine fonction continue et uniforme entre a el h^ dont 
on peut écrire ainsi l'expression 

o(:r) = 91(37) -T- \^[cp/-t-i(a7) — cp/(^)]a('a7 — ir/), 
/ = i 

en désignant par Oi[x) la fonction du premier degré qui coïncide 
avec '^(^) entre Xi_^ et xi et par y.[x) une fonction égale à o 
pour X >> o, à I pour :r <; o et finie pour x =^ o. On a 

X — ^ i — 1 
Xi J/— 1 

Supposons que l'on ait pu former une fonction continue ,3(^') 
qui approche de ^{x) autant que l'on veut sauf peut-être pour jr = o 
où elle reste finie. Alors la fonction continue 'j'(cr) obtenue en 
remplaçant dans l'expression de cd(^), rf\x — Xi) par ^(^x — ^/), 
différera aussi peu que l'on veut de cp(x). Et si la fonction p(^) a 
une forme analytique simple, il en sera de même de '}(^)- Seule- 
ment, pour que ce raisonnement soit exact, il faudrait que l'on eut 

|a(a7- — Xi) — 3(:r — Xi)\ <!' 

(e étant un nombre donné à l'avance), cette inégalité étant vérifiée 
quels que soient x et xi dans tout l'intervalle («, 6), sauf peut- 
être pour X = Xi. C'est-à-dire que l'on ait 

(I) \a(x)-^{x)\<t, 

dans l'intervalle fini [ — (b — a), (h — a)] sauf peut-être pour^ = o. 
Or ceci est impossible, puisque f^(x) est continue et que l'oscil- 
lation de a(^) est fixe et égale à i. Mais il suffit que l'inégalité (i) 
ail lieu en dehors d'un certain intervalle ( — y,, +y, ), qu'on puisse 
rendre aussi petit que l'on veut. En effet, si |'f (^)| <C M entre a 
et ù, on aura, puisque la ligne polvgonale a /? cotés, 

\o(x)-^{x)\<'inMz, 

en dehors des intervalles (r/ — -r,, Xi-\-r^). D'autre part, la fonc- 
tion continue o/(.r) — c5/_,(j;) est nulle en Xi. On peut donc 
prendre '/i assez petit j)Our que l'on ait 

|o,-(x)-cp,-_,(.r)l<£ 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 69 

dans l'intervalle [xi — y,, ^/-f-r,), et par conséquent, on ;iura, 
dans cet intervalle 

\'o{x) — 'h(x)\ < Ni -f- inMz, 

en supposant \y-{x) — [5>(x)|<cN lorsque x varie entre a — h 
et 6 — a. 

On aura ainsi (en prenant £ el r, assez petits, les nombres /?, 
N, M étant fixes) une approximation aussi grande que l'on voudra 
dans tout l'intervalle. 

M. Runge appliquait ces considérations en prenant pour i3(x) 
la fonction rationnelle 



(I -T- X)-" 



OÙ n est un certain nombre entier. Cette fonction continue de x 
tend vers a(^) pour o^|.r|<<i, lorsque n croît indéfiniment. 
C'est-à-dire qu'en prenant n assez grand, on aura 

|a(2-)-(3(:r)|<£, 

en dehors d'un certain intervalle ( — Vj, + '^,) (aussi petit que l'on 
veut quand 7i croît), et d'autre part ^{x) reste fini. 

Dans le cas oii (b — a) ne serait pas inférieur à i , on pourrait 

remplacer {^{x) par ^\ —,-j— : h par exemple, pour ramener à 

ce cas. 

En utilisant une fonction rationnelle continue pour ii(^), 
M. Runge montrait seulement qu'on peut trouver une fonction 
rationnelle Q.ov\\\ï\wç^ aussi approchée que l'on veutd'une fonction 
continue donnée. Mais il a donné autre part (') des méthodes, 
pour passer du cas de la fraction rationnelle à celui d'un polynôme. 

M. Mittag-Leffler a proposé de prendre pour la fonction p(^) 

l'expression 

(3(:r) = i_.2-(i-»-)". 

Cette fonction est une fonction entière de x qui tend vers a(jc) 
lorsque l'on a o^|.r|<^i. J^a fonction 4'(-^) obtenue en rem- 



(') lluNGE, Acta Matematica, 1884, p. a.'ië. 



6o (jiiAi'iTin: IV. 

plaçant dans cp, a(x) par [i(^) si [h — a) est inférieur à i et 

par 3 — r^- j |)ar exemple, dans le cas contraire, sera une 

' ' L '2 ( 6; <'^ j J 

fonction entière approchée de cp. D'ailleurs, en prenant dans son 
développement un nombre de termes assez grand, on pourra la 
remplacer par un polynôme. 

On peut encore opérer ainsi : considérons l'expression 

x\\ — l'xix )\. 

C'est une l'onction continue ( ' ) de x^ qui reste évidemment égale à 
la valeur absolue de x. A l'exemple de Caucbj, nous pourrons la 

désigner par \J x- . Pour avoir une fonction approchée de a(^), il 
suffit de l'obtenir pour \l x- . Or M. Lebesgue observe que l'on 

|)eut développer \j x- . On a 



sjx'^ = {\^ zy- = 



I + 



1.3 



_0 



en posant ^ r=r .r- — i et la série du second membre converge 
pour I ^1 << I (-). Elle converge même aussi pour ^ =r ir: i , |)ar suile 
elle converge absolument et uniformément pour — i^j^^i. Dès 
lors, la série en x obtenue en j remplaçant z par x- — i converge 
uniformément entre — i et -|- i. Si donc, on prend un assez grand 
nombre de termes, on formera un polynôme P(jr) tel que l'on ait 

I \J X- — P(.r)|<î entre — [ et -i-i. 

L'équation 

y=V^x) 

représente donc, à moins de s près, un angle droit dont les cotes 
sont limités ; à savoir la droite r= — x, dans l'intervalle — i ^^^o 
et la droite jK = ^ dans l'intervalle o£^^ i . On en conclut immé- 
diatement que, en choisissant convenablement les constantes m^ 



(') Le fait (me cette fonction est continue rend la niélhodc de M. Lebesgue 
plus simple dans son principe que celle de I\l. Hungo et de M. Miltag-I^efflcr. 

(-) Il est assez curieux de reinar(juer que la formule précédente se trouve, à 
titre d'exercice sur les séries, dans le Traité de calcul différentiel et intégral 
de Joseph Bertrand. Mais Bertrand était très éloigné d'en déduire les con.«»é- 
qucnccs qu'en a tirées ^L Lebesgue. 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. Gl 

^iPi ^h '*? l'équation 

y — nix -r- Il - p .V { q X ~ r ) 

représenteia, à moins de /?£ près, un angle quelconque à côtés 
limités. En ajoutant entre elles un nombre suffisant d'expressions 
de ce genre, on peut, par suite, représenter une ligne [)oljgonale 
quelconque, à moins de s' près, s' étant donné d'avance. 

On peut aussi, de la mctliode de M. Lebesgue, déduire une 
expression de a(^), ce qui la rapproche de la méthode de 
M. llunge, mais en diminue la simplicité. On peut j arriver de 
bien des manières; la plus simple paraît être la suivante; on peut 

poser 

1 
tx{x) = - — T: (x'^)~'' 

•2 J. 

_1 

et remplacer {x-) ^ par un développement analogue à celui de 



M. 



Lebesgue pour (^-)"; la multiph'cation de chaque terme par - 



assure la convergence pour ^ = o, 



&' 



Nous ne développerons pas les méthodes de M. Painlevé, pour 
les fonctions réelles analytiques, qui se trouvent exposées dans la 
Note I. 

EXTENSIOJV AUX FOlVCTlOPvS DE PLUSIEURS VARIABLES. 

Il y a lieu de faire une distinction entre les fonctions conti- 
nues par rapport à l'ensemble des variables et celles qui sont con- 
tinues j)ar rapport à chaque variable séparément. 

L'ensemble des premières comprend l'ensemble des secondes; 
mais on peut former des exemples qui montrent que ces deux 
ensembles ne coïncident pas. Ainsi, prenons la fonction qui est 

égale à -^ — - lorsque x aiy ne sont pas tous deux nuls et (|ui est 

X- -T~ y- 

nulle dans le cas contraire. Elle est évidemment continue par 
rapport à x qI y séparément; cependant, elle ne tend pas vers o, 
lorsque le point {x, y) tend vers l'origine sur la droite .r ^= r. 
Plus généralemcnl, considérons la fond ion nulle à l'origine et 
aux points de coordonnées rationnelles et qui, aux autres points, 



6-2 CHAPITRE IV. 

est égale à 



^;:=-l-oo/y=-hJO/-=:-4-«J=-l-oo I jr L^ \ I y 



X /7 := — * /' :z= — X .S" = — » 



g' s 



.r-^V-, r-' 



9/ \ s 



Elle est continue par rapport à x et r séparément ei cependant 
elle est discontinue ])ar rapport à l'ensemble des variables en une 
infinité de points dans un domaine aussi petit que Ton veut (*). 

Nous ne nous occuperons que des fonctions continues par 
rapport à l'ensemble des variables. 

Weierstrass avait donné dans son cours l'extension de son théo- 
rème en employant l'intégrale 

M. Mittag-Leffler se sert des résultats acquis pour les fonctions 
d'une variable. Soit, par exemple, la fonction z =i f[x^ y) con- 
tinue par rapport à l'ensemble des variables dans le domaine D 

Soient 

Xq = Cl. X\ , X-i, ' • ' 1 ^n—l . X,i = c>, 

des nombres fixes, indépendants de y, on peut les choisir de 
façon que la ligne polygonale : z = '^(a:^ Y) du planjK = Y, 
inscrite dans la courbe z^f[x^ \) aux. points d'abscisses Xi 
dilTcre aussi peu que l'on veut de celle-ci, V approximation s 
restant indépendante de Y entre A e^ B. 

Or, d'après les méthodes que nous avons données, la fonction 

cp(:r, Y)^cpK:r, Y) -r- ^ [cp,-^-,(.r, Y) - cp,-(^, Y)Ja(;r — av) 



(') Cet exemple est une généralisation du précédent obtenue à l'aide du prin- 
cipe de condensation des singularités. Voir Hankel, C'ntersucliungcn iiber 
die unendlich oft unstetigen und oscillirenden Functionen. Tubingen, 1870. 



REPIIKSENTATION DES FONCTIONS CONTINUAS. 6J 

peut êlre représentée par le polynôme en x 

i = n 

o(x, Y) = oi(x, Y)-+-^[o/^,(a;, y) — Oi(x, Y)]'^(x — Xi), 

OÙ |^(^') est un polynôme tel que l'on ait 

\cc(x)-~^^(x)\<io, 

quel que soit x dans un certain intervalio. 

Par conséquent '^(:r, Y) représente y(:r, Y) avec une approxi- 
mation Tj indépendante de Y. Or le polynôme en x, '^{x^ Y) a 
pour coefficients des fonctions continues de Y que l'on peut 
représenter avec telle approximation que l'on voudra. Par suite, 
on peut trouver un polynôme en x et en y qui diffère def{x^y) 
dUine quantité, constante dans D et qu'on peut prendre à 
V avance aussi petite cjue L'on veut. 

M. Lebesgue généralise directement les méthodes élémentaires 
employées pour les fonctions d'une variable. Dans le cas d'une 
fonction de deux variables, par exemple, il remplace la sur- 
face z ^= f{x^y) par une surface formée de morceaux de para- 
boloïdes. 

Supposons quey(^,y) soit continue par rapport à l'ensemble 
de ses variables, dans le domaine D 

a^^x-lb, AljK^B. 

On peut trouver un nombre o tel que l'oscillation de y soit plus 
petite qu'une quantité positive donnée £, lorsque le point (x.,y) 
varie dans un rectangle de côté plus petit que o. 

Divisons le domaine D en rectangles de côtés plus petits que ô 
au moyen des droites 



^ = « — .-To, 


X = Xx, 


.., x = x,i= b. 


j= A =jKo, 


y=yu 


jK=JK/,= B, 



et soit z-i^ji la valeur de f{xi^ J'a)« Désignons de plus par 
z = 's>i^/((x^ y) l'équation du paraboloïde qui passe par le quadri- 
latère ayant pour sommets les points de la surface z =/{x^ ^') 



64 CHAIMTUK IV. 

qui se projettent aux points 

Ces projections sont les sommets d'un rectangle C/^a dans lequel 

on a 

I?/,/.-(^,jk)— 7(^^,7) I <£. 

Car les cotes des points du paraboloïde sont comprises entre la 
plus grande et la plus petite des valeurs i?/,/^, ^/_|.i,a, ^/,/.+ i j ^/-ft,A+i 
lesquelles dilTèrenl entre elles de moins de s. 

Si C5(x,jj') est la fonction qui coïncide avec '^i^h(^x, y) dans le 
carré C/^/t (^ = o, . . . , n — • i ; A' =: o, ...,/? — 0; o» aura dans 
tout le domaine D 

Nous sommes donc ramenés à trouver un polynôme qui approche 
de ^-^{-i^f y)-) Or, on peut remarquer que l'équation 

z = /x2 s/y' -\- X sjy'- + y y/^'- -^ cry 

représente zéro si l'une au moins des variables x ou y est négative, 
et un morceau de paraboloïde si x et j' sont positifs; or on peut, 
suivant la méthode de M. Lebesgue, avoir de celte expression un 
développement approché pour les valeuis de x et 1' dont la valeur 
absolue est inférieure à un. En effectuant une Iransformation 
linéaire sur x^ y ç,\, z séparément, on peut obtenir, à moins de s 
près, un morceau quelconque de paraboloïde et, en ajoutant un 
nombre limité d'expressions de ce genre, on obtient o(^, j)') avec 
une approximation donnée d'avance. 

On pourrait aussi observer que ré(|ualion de la surface 

peut s'écrire 

^= 2Ll ^ [a(.r — .r/+,)— a(^-a-/)J 

/ = A = 

X [^(r —7/.-^»)— 5^(7— r/.)]?/,/.(-^» j)- 

Car le produit des deux crochets est égal à i dans le carré C/a 
et nul en dehors, si l'on désigne comme auparavant ]iar a(.r) une 
fonction de x nulle pour .r >> o et égale à 1 pour x < o. 



RKPRKSFXTATIOX DKS FONTTIOXS CONTINUES. G3 

Or ^i^k{^iy) est un poljnomc qui est du premier clc*2^ré sépa- 
rément par rapport à x et [)ar raj)port à y. Par suite, un raison- 
nement analogue à celui que nous avons fait pour le cas d'une 
variable nous montre que nous aurons un polynôme approché de 
o[x^y) en remplaçant a(^) par un [)oljnome jj(.r) approché en 
dehors d'un intervalle — ri, -|- /, aussi petit que l'on veut. 

Dans ce qui précède, nous avons supposé la fonction y(^, y) 
définie et continue dans un certain rectangle. Si, au lieu d'un rec- 
tangle, on avait un domaine fermé D, d'un seul tenant on non, 
il suffirait de remplacer la fonction / jjar une fonction continue 
dans un rectangle contenant D et qui coïncide avec y dans D. Cela 
est évidemment possible d'une infinité de manières. 

On voit donc qu'o/i peut repiésenler toute fonction, con- 
tinue par rapport à V ensemble de ses variables dans un do- 
maine D fermé, par une série de polynômes qui converge uni- 
formément et absolument dans D. 

Une conséquence immédiate du théorème de Weierstrass est 
la suivante : Etant donnée une série de fonctions continues, 

convergente dans un intervalle («, b)^ on peut toujours 
mettre f{x) sous la forme d'une série de polynômes cjui con- 
verge dans le même intervalle. Et si la première série est uni- 
formément convergente, on pourra supposer cju'il en est ainsi 
pour la série de polynômes ( ' ). 

En effet, quel que soit p on pourra former un polynôme Q^ tel 
que l'on ait 

lQ/,(;r)-S,,(^)|<- 
P 

entre a et b. Par conséquent, Q^p{x) tend vers Ja limite f{x) 
de S^(^) lorque p croît indéfiniment (quel que soit x entre a 
et b). Par suite, la série de polynômes 

Qi + (Q2-Qi)-i-...+-(Q,,-Q,_,)-^... 

converge vers f{x) entre a et b. Elle y converge uniformément 

( ' ) La généralisation au cas de n variables est immédiate. 

E. B. 5 



66 CHAPITRE IV. 

s'il en est ainsi pour la série donnée; car on aura entre a et b 

en prenant p assez grand. 

On sait d'ailleurs que, étant donnée une série uniformément 
convergente, on peut toujours, en groupant convenablement les 
termes, la transformer en une série absolument et uniformé- 
ment convergente ('). On pourra donc s'arranger pour que la 
série de polynômes converge absolument et uniformément. 

Lorsqu'on cherche un polynôme approchant d'une fonction 
continue déterminée, il y a intérêt à obtenir, pour une approxi- 
mation donnée, le polynôme le plus simple possible, par exemple 
du plus petit degré. Mais le résultat dépendra évidemment de la 
plus ou moins grande continuité de la fonction donnée /(j:). 

Ainsi, lorsqu'on remplacera la courbe j' =y(cr) par la ligne 
polygonale jK = ^(^)7 ^ faudra, si l'on veut avoir une approxi- 
mation £, découper l'intervalle («, 6) en intervalles de longueurs 
plus petites que o, o étant tel que l'inégalité 

\x — X ] s 
entraîne 

entre a et b. Pour une valeur déterminée de s, on peut prendre 
pour la plus petite valeur possible. On déterminera ainsi une 
fonction o = o(£) qui tend vers zéro avec £. Et l'on voit que la 
ligne polygonale sera d'autant plus simple pour une valeur donnée 
de £ que la fonction '^(s) décroîtra plus vite avec z. On peut dire 
que la décroissance de '>p(£) près de £ = o mesure la continuité 
àe f{x) entre a et b. Ainsi, par exemple, si la fonction est déri- 
vable entre « et ^ et si sa dérivée est bornée, on a cp(£)^x'\.£, 
A étant un nombre positif fixe. 

Représentation des fonctions dériçables. 

En particulier, considérons une fonction f{j^) qui ait une 
dérivée /"^ continue entre a et b. On peut se demander s'il est 

(') Voir, par exemple, Borel, Acta Matheniatica, t. XXIV, p. 335. 



REPRÉSEXTAirON DFS FONCTIONS CONTINUES. O7 

possible de la représenter par iuk; série de polynômes telle fpie 
cette série et la série des déiivées convergent uniforniémerit 
vers /"(^) el/'{ûc) entre a et ù. La réponse est aflirnialive (Pain- 
levé, Comptes rendus, 7 février 1898). En effet, on pourra trouver 
un polynôme Q«(^), tel que l'on ait 

|/'(^)-Q.(^)|<}^. 
Mais alors, on aura 

(h — a) 



|/(^)-P,,(^)|< 



/i 



en posant 

Par suite, on a 
et les deux séries 

Pi -- (P-2 - Pi) +. . .+ (P« - P„-,) +. . ., 

p'i 4- ( p; - p; ) +. . . + (p;,- v\,_, )^..., 

convergent absolument et uniformément vers y(^) et /'^. entre a 
et b. 

Cette méthode s'étend immédiatement au cas où la fonction 
admet des dérivées continues jusqu'à un ordre fini déterminé. 

Supposons même qu'elle admette des dérivées de tous les 
ordres. 

On déterminera pour chaque valeur de n un poljnome Q/i(^) 
tel que l'on ait entre a el ù 

Puis, en choisissant convenablement les constantes d'intégra- 
tion, on pourra former un poljnome P,i(x) dont Q//(j:^) soit la 
dérivée d'ordre n et tel que 

Si par exemple (6 — a) est supérieur à 1, on pourra prendre 

1 



*« — 



n{b — a)« 



68 CHAPITRE IV. 

et alors la série clierchée sera 

Car cette série (ainsi que toutes les séries des dérivées) est une 
série de polynômes qui converge uniformément et absolument 
entre a et b vers f{oc) [ou vers les dérivées correspondantes 
de/(x)]. 

L'inconvénient d'un tel développement est de ne pas mettre en 
évidence les propriétés de dérivabilité dey(cr). Car on ne connaît 
pas les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une série de 
polynômes puisse être dérivée terme à terme. 

C'est pourquoi nous allons donner un développement en série 
de fonctions transcendantes simples qui ne présente pas l'incon- 
vénient indiqué. 

Étant donnée une fonction f{oc) qui admet des dérivées 
continues de tous les ordres entre — i et -{- \^ on peut la repré- 
senter par un développement en série tel que 

(2) 2_, (A/,a7'^-l- B/,- cosA-ra; -f- Ca sin A'Tia?) 

et les dérivées de f{x) seront représentées par les séries des 
dérivées correspondantes des termes de cette série. Toutes les 
séries ainsi obtenues convergent uniformément entre — i 

et + I . 

Remarquons d'abord que, étant donné a priori un développe- 
ment de la forme (2), on connaît la condition nécessaire et suffi- 
sante pour qu'il converge entre — i et + i ainsi que toutes les 
séries des dérivées. 

En effet, si la série des dérivées /?i'^'"'' 

V [/.(A — i)...(/. — m + J)A/,a7'"-t-B/,(A7:)"'cos(A-:r-^ m ^^ ) 

-I- C/,( A r)'" sin Ikr.x -- '» 7 ) 

converge entre — i et -f- 1 , clic converge en jiarticulicr pour jc = o. 
Or, en prenant par exemple m =. xn^ on voit que le terme gé- 



REPRKSEXTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 69 

néral se réduit à ( — i)'^B^(A t:)-" pour x = o. Par conséquent, 
Ba/i:-'^ tend vers zéro lorsque  croît indéfiniment, quel que soitj;; 
alors il en est de même pour B/f/»:"* quel que soit l'entier m. 
De même, en considérant le terme général pour 



cr = o, m ^= in 



on est amené à conclure que C/fA'" tend vers zéro quel que soit m. 
Dès lors la série 

^{x) = V \^u{kizy>i co Jkr.x ^ m '1\ _^ C/,( A-)"' sin ( /:-:r -^ m -- \ 

est uniformément convergente quel que soit x. Il faut donc que 
la série restante soit convergente entre — i et -f- i et par suite 
que A/^/c"* tende vers zéro quel que soit m. 

Il est donc nécessaire que les expressions h^hk^-, B^A^", Qh^"^ 
tendent vers zéro, quel que soit m, pour que la série considérée 
soit convergente entre — i et + i. Cette condition est d'ailleurs 
suffisante et, si. elle est vérifiée, la série est la somme d'une fonc- 
tion périodique de période égale à 2 et d'une fonction holomorphe 
entre — i et + i . 

Démontrons maintenant le théorème que nous avions en vue (' ). 
Pour cela, observons que le cas où /(x) serait une fonction indé- 
finiment dérivable et périodique (de période égale à 2) se traite 
immédiatement. En effet, y*(:r) étant continue, périodique et indé- 
finiment dérivable peut se développer en série de Fourier 

/(x) = 2(B/£ ces A- 71 57 -f- Cyt sin ATTir), 

uniformément convergente quel que soit x. On sait de plus que 
ses dérivées peuvent être représentées respectivement par les 
séries uniformément convergentes composées des dérivées des 
termes du second membre. 

Supposons que la fonction /{x), sans être périodique, sans 
même être nécessairement définie en dehors de l'intervalle 



(*) Voir E. BoREL, Thèse, page 29. Il est à peine utile de faire observer qu'on 
passe immédiatement au cas d'un intervalle quelconque par un simple change- 
ment de variable. Pour l'extension au cas de deux variables, voir E. Borel, Sur 
les fonctions de deux variables réelles {Annales de l'École Normale, 1S96), 



yo CHAPITRE IV. 

( — I , + i), soit telle que I'od ait 

quel que soit /?, en appelant f^^^{ — i) la dérivée d'ordre p à 
droite de — i el f^P\-\- i) la dérivée d'ordre/? à gauche de + i . 

Dans ces conditions, nous pourrons former une fonction pério- 
dique c:; (.2?), de période égale à 2, qui coïncide avec/(^) entre — i 
et + i et qui est partout indéfiniment dérivable. Alors on pourra 
répéter ce qui précède sur la fonction 'f (j?) quel que soit x et ce 
sera vrai en particulier poury(^) entre — i et -\-\. 

Pour arriver maintenant au cas général, il nous suffira de 
montrer qu'on peut retrancher d'une fonction fi^x^ (supposée 
seulement dérivable à l'infini entre — i et + i) une série 

uniformément convergente entre — i et -j- i ainsi que toutes ses 
dérivées, de façon que la différence 

satisfasse aux égalités 

quel que soit p. 

Il faut pour cela que l'on ait l'égalité 

5^j/^^(+i)_^jp)(_,)=/(/>)(-i-i)-/(/')(-i), 

où le second membre est une constante connue C^,. 

Pour déterminer la fonction y (x) par ces égalités, écrivons-la 
sous la forme 

On aura en dérivant successivement cette égalité 

9,H(i) = Co, 
4G'(i) = G„ 

8ir(i) = c,— i9,ir(i), 

^,2/,4-iH(2/.)(i) ^ G./, -l-iinefonctiondeir(i),n'"(i), ..,,H(2/,-n(i)^ 
2'2/.4-2G(2/^+i)(i)= C,,,+, -4- une fonction de G(i), G" (i), .. ., G^^P^(i), 

Par suite, si l'on se donne arbitrairement pour ^ = i les dérivées 



REPRKSRNTATfOX DUS FONCTIONS COXTIXL'ES. 7I 

d'ordre pair do G(/) et celles d'ordre impair de \^{t)^ les autres 
seront déterminées successivement et d'une seule façon par ces 
égalités. En résumé, on peut trouver une infinité de systèmes de 
solutions des équations (3) : 

H(i) = /.o, li'{i) = h„ ..., lW{i) = h,„ 

Il s'agit maintenant de déterminer les fonctions G et H au 
moyen de ces égalités. Considérons, par exemple, les équations 
relatives à la fonction G : le [)roblème sera résolu si la série 



P=-i- 



8p 



it — ^)P 



I 



est convergente dans un cercle de rayon supérieur à 2. En effet, 
on pourra la développer à l'origine en une série de Mac-Laurin : 

^a^/" dont le rajon de convergence sera supérieur à i . Alors la 

fonction 2,^nX'''^ sera bien une fonction G (^2) uniformément 

convergente entre — t et -^-x et telle que G^^^(i)=^^. 

Mais, dans le cas général, non seulement la série (4) n'aura pas 
un rayon de convergence supérieur à 2, mais il arrivera que ce 
rayon sera nul, la fonction G(:r-) n'étant pas régulière au 
point + I • 

Pour traiter ce cas, nous ferons voir qu'il suffît de vérifier nos 
égalités avec une certaine approximation pour pouvoir résoudre 
le problème. En effet, supposons qu'on ait trouvé une fonction 

U(^) =: ^ f^/i — r dont le rayon de convergence soit supérieui* ou 

égal à un et telle que l'on ait, non pas U^^' (i) = ^";,, mais simple- 
ment 

A étant un nombre fixe indépendant de t. Alors, posons 
et considérons la série 



72 CHAPITRE IV. 

Puisque \lp\ <! A, celle série est une fonclion entière de t el, 
par conséquent, la fonction analytique U{t) -{- L(t) a un ravon 
de convergence au point t = o supérieur ou égal à i ; d'autre part, 

on aura évidemment 

U(p)(,)+L'7^)(i) = ^/,, 

par suite, on peut prendre pour G la fonction U -h T^. 

Il s'agit donc de résoudre le système d'inégalités du premier 
degré en nombre infini avec une infinité d'inconnues 

\Uo-^ Ui-^ U2-^ Ih-^- "-i- Un -+-...— ^0 ! < A , 

\ui-\- o.i(2-T- 3u:i-h. . .-T- n Un -'-. . — ,^1 [ < A , 

\9.Un-\- QiU.i-^ . . .-\- Jl{n — I ) M/, -t- . . . — ^2 I <C A , 



Pour cela, considérons une série divergente à termes positifs 
décroissants 

^0 "T" ^1 ~i~ ^2 ~r- . . • + X ji -T- . . • 1 

telle que Xn reste inférieur à un nombre fixe B et que la série 



Xx Xc, 


Xr 


-\~ — -\- 


...H 


I 2 


n 



soit convergente. (On pourrait prendre, par exemple, la série 
har 



I 
rmonique Xn=^ - 



n 



D'après nos hypothèses sur les Xi^ il sera possible de trouver 
un entier jiq^o, tel que l'on ait 

Prenons alors \^l^^\^=XQ^ ..., |w„J=;r„, les signes des quan- 
tités «05 • • «j iino étant identiques à celui de ^o* 
On aura 

|«o-l-...-4- ^^,„— ^o| < B. 

Déterminons ensuite un nombre n^^it^A- i tel que Ton ait 

|.r„„+,-^...-^.r„, — l^'ill < B, 
CD posant 

o 1 = oi— ^'1 — iif-i — . ..— nolfn,' 



i 



I 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. jS 

Nous prendrons 

les signes des ii étant celui de g\; on anra donc 

\{no-^i)Un,+i-h. ..-I- riiUn^ — g-\\ < B. 

Et ainsi de suite; ajant déterminé Uq, ..., u„ , on déterminera 
un nombre /i^^,^/ip + i , tel que l'on ait 



avec 






Et l'on prendra 

/i/,+1 . . . ( /l/,+ i — /? H- l) 1 M„p^, [ = ^„^,.„ 

(ce qui est possible, car/rjr,est supérieur ou égal à/> H- i), en choi- 
sissant le signe de g'p^^ pour signe de Un^+x, • • ., «„^^,. 

D'où 

\{np-{- i)...{np — p -^-'x) Unp+i 4- . • . 

-I- Ilp+i ...(rip+i — p + i)iinp+,— S''p+i\ < B. 

En opérant ainsi indéfiniment, on déterminera tous les u. 
Or, on aura, en supposant |ô|£i, 

Uo-h Ui-\-...— ^"0= Mo + ...4- Un^— go 






La quantité entre crochets est plus petite que la somme de la 

, . Xx T'y 

série convers^ente 1 =+.... 

^ I 2 

Par suite, la valeur absolue du premier membre est inférieure 
àB + S. 

De même, on a en général, avec |9y,|^i, 

p\up-{ p '- Up+i-^...— gp = {np-^\)...{n,, — p -f- i)Un,,+\-^." 

-h np+i...(np+i — p -h\)Un^,.^, 



74 CHAPITRE IV. 

Gomme les xi vont en décroissant, la quantité entre crochets 

est inférieure à la somme des termes de la série \ — à partir du 

terme de rang /«/?+» — p + i , et par conséquent inférieure à S. 

Le premier membre est donc inférieur en valeur absolue à B -t- S 
quel que soit/? : nous avons bien un système de solution de nos 
inégalités (en prenant pour A le nombre B -\- S). Le théorème est 
ainsi établi. La démonstration prouve, d'ailleurs, que l'on pourra 
former une infinité de développements de la même espèce que 
celui que nous avions en vue. 



METHODES D INTERPOLATION. 



Formule cV interpolation de Lagrange. — Considérons nne 
fonction /(^) dont on connaît les valeurs Ci, c^, ..., Cn pour 
les abscisses X\^ Xo, » . ., Xn- La formule de Lagrange permet de 
déterminer un polynôme de degré n — i qui prend les mêmes 
valeurs c, , Co, . • . , c,i pour x =^ x^^ x-^-, » » - ^ x,i : 



^~^ '{Xi — Xi){Xi—Xi)...{Xi—Xi-i){Xi — Xi^l)...{Xi—Xn) 



On serait tenté de croire que le polynôme P(^) sera d'autant 
plus approché de f{x) que n est plus grand; car n est le nombre 
de points communs aux deux courbes y =i f(x) et jk = P(^). En 
fait, c'est ce qu'on suppose souvent en Physique, lorsqu'on exprime 
approximativement la loi d'un phénomène au moyen d'un nombre 
fini d'expériences par une relation de la forme jk^ ^^(^) ^^^ ^^{^) 
est un polynôme (par exemple dans l'étude des dilatations). 

Si cette méthode était rigoureuse, on aurait là un nouveau 
moyen de développer une fonction en série de polynômes, et par 

un procédé très simple. Car P(^) est de la forme ^^CiT\i{x) où 

i 

les polynômes Ri(^) sont indépendants de la fonction /(jc) con- 
sidérée et peuvent être calculés une fois pour toutes. 

Il y a donc lieu de rechercher si l'approximation augmente avec/î. 
Nous allons donner un exemple où c'est le contraire qui a lieu. 



UKI'RKSICNTATFOX DKS FOXCTIOXS CONTINUES. 76 

Nous montrerons ainsi r/nc lajorniule d^ interpolât ion de La- 
grange ne peut pas conduire au théori'me de Wcieistrass (^). 

Considérons d'abord une fonction qui soit nulle aux points 
d abscisses 

— (m — I ) — (m. — 9. ) I 3 \ 

— I , , ..-, o, — » — ? - » •••' i, 

m m ni ni ni 



et qui soit éijale à — pour l'abscisse—- La formule d'interpola- 
^ ^ m ^ m 

tion de Lagrange fournira un polynôme Vrn{^) prenant les mêmes 
valeurs aux mêmes points 

j_ ^ \ m I \ ni/\ m/\ ni) 

„AX)-^ m f-j^ Wji ni — i\ ^r~r). '^\r^ 3 \ / •>. 4"^^ fi. 



\ni m) \; 



\ni J \ni ni ) ni \ni nij \ni m/ \ /n ni 

Supposons maintenant que m soit impair : ni = iq -\-\. Quel 
que soit l'entier q, le point d'abscisse - sera le milieu de l'un des 
im intervalles égaux séparés par les points d'abscisses 



m — I \ 12 

> •••) o, — > — > •••) I. 

m / m m 



Considérons alors le polynôme V,n{^) sans nous préoccuper 



(^) Cet important résultat, que je croyais nouveau lorsque je l'ai donné dans 
mon Cours, avait été obtenu antérieurement par M. Runge. J'ai eu connaissance 
des travaux de M. Runge sur ce sujet par une communication que M. Mittag- 
Lcffler a bien voulu me faire, au 3" Congrès international des Mathématiciens à 
Heidelberg, le 9 août kjo^. M. Mittag-Leffler m'a appris de plus que, pour donner 
aux beaux travaux de M. Runge sur ce sujet une publicité en rapport avec leur 
importance, il en publierait prochainement une traduction française dans les 
Acta Mathematica. Le Mémoire original de M, Runge : Ueber empirische Funk- 
tionen und die Interpolation zwischen àquidistanten Ordinatcn, a paru dans 
la Zeitschrift fur Math, und Physik (t. XLVI, 1901, p. 229). M. Runge a 
exposé une partie de ses résultats dans un Livre à l'usage des ingénieurs : Théorie 
und Praxis der Reihen ( Saninilung Schubert, Gosschen'sche Verlagsbuch- 
handlung, Leipzig, igo^)- Parmi les beaux résultats obtenus par M. Runge, je 
citerai seulement le suivant : si l'on calcule la formule de Lagrange, pour la 

fonction dans l'intervalle — 5, -4-5, on obtient un résultat qui converge 

i-h X- 

dans l'intervalle compris entre ± 3,63, mais qui diverge en dehors de cet inter- 
valle. On voit que cet exemple est bien plus simple que celui du texte. Je crois 
devoir cependant maintenir ce dernier, car le mode de démonstration employé me 
parait de nature à pouvoir rendre des services dans bien des questions analogues. 



76 CHAPITRE IV. 

pour le moment de la fonction qui lui a donné naissance. Nous 
allons montrer qu'on peut déterminer un nombre k tel que l'iné- 
galité m >> k entraîne 



>A, 



A étant une quantité quelconque donnée à l'avance ('), 
En effet, on peut écrire 



m ( m — 



{m -}- i){m -h 
I 

X 



,A 3.5... m Y 



X 



X 



>, 771 



ojn 



( ni -T- i)(m ~\- ^) . . . (ifn -^ i) 

( m -h i )( /n -\- j } . . . -2 ni 
-~ j 3 m -^ -2 



m{m — 2 ) ( 3 /?i -r- I ) />i -H I m -+- o 



ini 



La première ligne du second membre est supérieure à 

ni(m — I ) . 1 1 A ^ • 1 . r» • V n 
^^ — qui tend vers i lorsque m croit indetiniment. rar 

( 7?i -h 1 ) ( /?n- 2 ) ^ ^ 

conséquent elle sera supérieure à - pour m^Ji^ si h est assez 
grand. D'autre part, on a 

3 



2 /?i + 3 2 /?i + 5 3 ni 

" ^ ~7~. : ~ Z> • • • -^ 



m 



m 



> 

1 ni 2 



Par suite, on a pour m >> h 



> 



i \ m 



2 m {ni — 2 ) ( 3 771 -T- I j 



Le second membre croît indéfiniment avec jn\ on pourra donc 
déterminer k > A, tel que l'inégalité m > k entraîne 



>A. 



Ceci étant, considérons une suite de courbes Ci, Co, C3, . . ., 
définies de la façon suivante. La courbe C^ est une courbe con- 



(•) Nous avons pris le point- pour simplifier, on pourrait raisonner de la 
même manière sur le point d'abscisse — > n étant un entier quelconque fixe. 



REPRESENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 77 

tinue qui coïncide avec Ox en dehors de l'intervalle (ôtTi^ T'^) ^^ 
nui a un maximum é^^ai à - — - au milieu de cet intervalle. 

On pourrait prendre, par exemple, dans cet intervalle, la courbe 



y 



= —!--sin 3/^+1 - ( X —]• 



3 /'-+-! 



3/^-+-! 



Nous allons, à l'aide des courbes C^, définir une courbe F; nous 
appellerons Up^Y{x) le poljnome de Lagrange qui prend les 



Fii 




mêmes valeurs que les ordonnées de la courbe F aux points 
d'abscisses ( ' ) : 



— I, 



3p 



(3/>-2) 

3/^ 



iP- 



àP 



Je vais montrer qu'on peut trouver une courbe F continue 
entre — i et -f- i , telle que la courbe y == II^^r(-^) n'ait pas pour 
limite F lorsque p croît indéfiniment. Cela prouvera bien que la 
formule d'interpolation de Lagrange ne donne pas une approxi- 
mation croissant avec le degré du pol^^nome employé. 

11 suffît de montrer que l'on peut choisir F de manière que 

n^^rfr) ne tende pas vers le point de F d'abscisse -• Or, remar- 
quons que l'on a 

en employant les notations précédentes. On peut donc prendre 
un nombre h^ de façon que l'on ait 



n 



i>,^-i 



>'2A pour/) — i^/'i. 



(^) On aurait un raisonnement analogue en divisant le segment — i, +1 en 
intervalles de longueurs (2^ -Hi)''} Ç étant un entier quelconque fixe. 



t8 



CHAPITRE IV. 



Deux cas pourront alors se présenter : ou bien 11^, c, ( - j ne 

tend pas vers zcio f ordonnée de C,, Co, ..., pour ^= -j, 

lorsque {li\ restant fixe) p croît indéfiniment et alors la propo- 
sition est démontrée en prenant pour F la courbe Qj ou bien 
alors on peut déterminer un nombre /', tel que l'on ait 

A 



"/'.C/M (- ) < - pour/?>ri, 



Soit maintenant Ao un nombre entier supérieur à A, et /-, . Consi- 
dérons la courbe C!, formée des sinusoïdes qui figurent dans C/,^ 
et Cp_i{j) — i^Ai) et de l'axe Ox dans le reste de l'intervalle 

( — I , -|- I ). La courbe C, „ sera continue ; son ordonnée en ^ = - 
sera nulle et l'on aura 



D'ailleurs, on a 

puisque 
et 

puisque 
Donc 



A 

< ~> 

'2 



^i>,C'.,,= n^,c;,.+ n;;,c,,_.. 

n/.,c,_.(^)|>-2A, 



> 2 A — — 



""'^•i.U 



pour p — I 7^2. 

Deux cas pourront alors se présenter : ou bien H^, c^ ;. ( ~ ) "^ tend 

pas vers zéro lorsque p croît indéfiniment et alors le théorème 
est démontré en j)renant pour Y la courbe C^j,,^ ou bien on pourra 
déterminer un nombre /■2 tel que l'on ait 



n 



pX-'ih, 



l\ 


A 


- 


< -r 


->/ 


2* 



pour p > /■2. 



On prendra alors un nombre //j supérieur à //^ et / o, et l'on for- 
mera une courbe C/j formée des sinusoïdes qui figurent dans C/,^, 



REPRESENTATIOX DKS FONCTIONS (JONTINLES. 79 

(]/;^ Cl C^_i, (/> — I r^ A:{) et qui coïncide avec Ox dans le reslc de 
J'intervalle. Et l'on recommencera sur C!, le même raisonnement 
fjue sur G' . Alors, on voit f[tic deux cas pourront se présenter. 
Ou bien, au bout d'un nombre fini /i d'opérations, on trouvera 
une courbe (Xî,/i„ continue entre — i et + i d'ordonnée nulle 

en ^ = - et telle que n_p, ( - ) ne tende pas vers zéro lorsque /i 

croît indéfiniment et alors le théorème sera démontré. Ou bien, 
la suite de courbes G'„ /, sera telle que l'on ait, quelque soit /i, 

n//„+i,(::. 



/i\ , A A A 

- >2A -, ..., — — >A. 

\2/ 2 1^ 2'*-* 



La courbe C^j,^ est d'ailleurs formée de sinusoïdes qui figurent 
dans G^j, G/,,, . . . G/,^ et de Ox dans le reste de l'intervalle — i, 
-j- 1. Gonsidérons alors la courbe Y formée des sinusoïdes G/, , G/, , 
G/, ... G/i^, . . ., et de Ox dans le reste de l'intervalle ( — 14-1). 
L'ordonnée y de Y est une fonction de x évidemment continue 
pour Xy^o. Elle est aussi continue pour x=o, car y = o 
pour X = o et |j)/| << 1^1 dans tout l'intervalle. Déplus, l'ordonnée 

de r est nulle pour ^ = -• Il suffit donc, pour démontrer le théo- 
rème, de faire voir que II p ( - j ne tend par vers zéro lorsque p 

croît indéfiniment. Or ceci est bien évident, car, d'après la dis- 
position de la courbe F, on a 

quel que soit /i. Par suite, 1'ex.pression II p ( - j ne peut tendre 

vers o (') puisque sa valeur absolue reste supérieure à A pour une 
infinité de valeurs de /? : A,, Ao, • • • , /*«, . . • • 

Formule générale d' interpolation. — Nous allons maintenant 
montrer qu'on peut remplacer l'emploi de la formule de Lagrange 
par un autre procédé d'interpolation, à la vérité plus compliqué, 

(^) D'après la remarque que nous avons faite, il y a même une infinité d'abs- 
cisses : — en lesquelles la courbe j' = Il p {x) ne tend pas vers la^courbcF. 



8o CHAPITRE IV. 

mais qui offre ravanlage de fournir une approximation indéfi- 
niment croissante. Pour préciser : on peut former, une fois 
pour toutes, des polynômes ^p,q{^) qui jouissent de la pro- 
priété suivante. Étant donnée une fonction f{x) définie et 
continue entre o et i , on a 

en posant 

et la série de polynômes qui représente f [x) converge unifor- 
mément entre o et i. 

En d'autres lermes_, la connaissance des valeurs de la fonction 
continue pour les valeurs rationnelles de la variable permet 
d'écrire immédiatement les polynômes d'approximation, au 
moyen des polynômes Pp^q{x), calculés une fois pour toutes 
indépendamment de toute fonction particulière. 

Nous démontrerons ce résultat en introduisant les fonc- 
tions On q (x) continues entre o et i, qui sont définies par les 
égalités suivantes (en supposant />< ^) : 



o^jq(x)=o^ po\iro^x<- et pour 37^ 



Op,q{cc)= -{~qa-—p ^i, pour 






Oi,fi{x) = — qx-\-p-^\^ pour — '^x 

:ermine 
ait, entre o et \, 



1 q 

On déterminera ensuite les polynômes P^,,^ {x) de façon que l'on 



Alors, on aura 



\^pA^)-^P,q{^)\< ^ 



I'p,7(^) = ?y',7(-^)-^ i -P,q{^) avec \lp,q{x^)\<i. 

D'où 

en posant 

/' = v p^n 



REPRESENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 



8l 



Il me suffira de montrer que <I>^ et Zq lendenL uniformément 
vers les limites f{oc) et o lorsque q croît indéfiniment. Or \f{x)\ 
est borné entre o et i. Soit \f{x)\ <C M, on aura 



:vl<M 



r/ -+- I 



Donc ^q(x) tend uniformément vers zéro. 

D'autre part, soient x un point quelconque entre o et i , et ^ un 
entier quelconque; on peut toujours trouver un nombre/?^'/, tel 
que l'on ait 



On a donc 



avec 



et 



^^^<^^^^ 



p-0 

X = y 

(1 

0<0<I, 



?0,7= O, 



9/^-1,7= 0, 



C?/.,7=l— 0, 



D'où 



^,p-\-\,q= Oj 



P 



'^=(^-o)/(^-; + ^/^ ,^ 



?7,7=o. 

p -ï^ 



Or on peut prendre le nombre q assez grand pour que l'inéga- 



lité 

entraîne partout 
et, par suite, 



1^1 — ^2! < 



1/(^1) -/( ^2)1 



1*7-/(^)1 = 



(1 — 



0)[/(f)-/(.)]H-e[/(ZL^)-/,.)] 



'.^ e. 



Autrement dit, ^qi^x) tend uniformément vers /"(j;). 

Par suite Wq(^x) tend uniformément vers fi^x^ et la série 

ri,+2(i],-n.,_,) 

converge uniformément versy*(x). 

Il est d'ailleurs clair que l'on pourrait, dans ce qui précède, 
E. B. 6 



82 CHAPITRE IV. 

remplacer l'ensemble des nombres rationnels par un ensemble 
dénombrable partout dense quelconque. L'extension à n variables 
est immédiate. 

Pour les applications, il serait très intéressant de calculer effec- 
tivement les polynômes P^,^(^) au moins pour les petites valeurs 
de p et de q (si l'on ne peut pas obtenir de formule générale). 
Pour faire ce calcul, on pourrait employer l'une quelconque des 
démonstrations du théorème de Weierstrass. On aurait ainsi des 
formules d'interpolation applicables à toute fonction continue 
avec un succès certain. On peut s'arranger de manière que ces 
formules soient dérivables, lorsque les dérivées existent. (Voir 
une Communication de M. E. Borel, dans les Comptes rendus 
du S*" Congrès international des Mathématiciens.) 

Méthode d'approximation de Tchebicheff (*). 

Les méthodes de représentation des fonctions par des séries de 
polynômes peuvent être comparées à celles qui permettent de 
représenter un nombre quelconque par la limite d'une suite de 
nombres rationnels. Dans cette dernière question, la considération 
des fractions continues permet d'obtenir une représentation uni- 
voque d'un nombre donné. De plus, en s'arrêtant à une réduite 
quelconque, on obtient une fraction qui présente une approxima- 
tion supérieure à celle qui est donnée par toutes les fractions dont 
les termes ne sont pas plus simples. 

Un progrès analogue peut être obtenu, dans le problème qui 
nous occupe, par la méthode de TchebichefF. Son objet est le sui- 
vant : étant donnée une fonction f{x) continue dans l'inter- 
valle (rt, />), chercher s'il existe un polynôme approché ll{x) 
donnant une approximation supérieure ii tous les polynômes 
de même de "ré n. 



(') Voir TciiKBiciiEFF, Sur les questions de niinima qui se rattachent à la 
représentation approchée des fonctions ( Bulletin de la Société physico-mathé- 
matique de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. \VI, 
i8.')8 col. 1 45-1 '19; Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint- 
Pétersbourg, t. l\,.iHr)9, p. 201-291). 

La inclhodc de Tchebicheiï a été reprise et rendue rigoureuse par M. Paul 
KmcHERBERGKii, Inaugural-disscrtation : Ueber Tchebychefsche Annàherungs- 
methoden, Gullint;eii, 1902. Nous avons utilisé dans ce qui suit cet important travail. 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 83 

Pour préciser cette question, considérons un polynôme de 
degré /i : P(^) = Aq^'^-H A.^x'^~^ -h ... 4- A„ et posons 

La fonction \y\ est continue dans l'intervalle [a^ b), elle y atteint 
donc au moins une fois son maximum m. Lorsque le polynôme P(:c) 
varie en conservant le même degré, m varie également; c'est une 
fonction de Ao, A,, .... A„ : /??(Ao, A,, ..., A„). C'est même 
une fonction continue, car on peut faire varier assez peu les quan- 
tités Ao, A,, . . ., \,i, pour que \y\ varie de moins de t dans tout 
le domaine limité (a, b) et par suite pour que m varie aussi de 
moins de t. 

D'ailleurs, m est jDOsitif ou nul; si même, comme nous le ferons 
maintenant, nous supposons que f{x) ne coïncide pas entre a 
et b avec un polynôme de degré /?, m sera certainement positif. 
Par suite, l'ensemble des valeurs de 7?z, lorsqu'on lait varier 
Ao, ..., A/i de façon quelconque, a certainement une limite 
inférieure \x. 11 s'agit de savoir si cette limite inférieure est 
atteinte pour un polynôme déterminé de degré n : 

que nous appellerions /?o/;^/io/?ze d'approximation de de^ré n. 

La fonction /?i(Ao, ..., A/j) étant continue atteint certaine- 
ment sa limite inférieure ^ lorsque Aq, . . . , A^^ varient dans un 
domaine borné et fermé quelconque (c'est-à-dire, en particulier, 
lorsque les A/ restent entre des limites finies données). Mais, en 
général, ]x' sera supérieur à ]x. 

Pour tourner cette difficulté, nous allons montrer qu'on peut 
déterminer des limites pour les A, telles que, en désignant par u' 
la limite inférieure de m lorsque les A restent entre ces limites, 
on ait certainement [j.'= [i.. 

Observons d'abord que [x est au plus égal au maximum ]M 
de 1/(^)1 dans l'intervalle (^?, b). Car on a 

;jL^ m (o, o, o, . . ., o) = maximum de |/(a7) — oj dans {a, ^) = M. 

Par suite, on ne change pas le problème en se restreignant aux 
polynômes de degré n pour lesquels on a m < M. Or ces polynômes 
sont tels que les variations de leurs coefficients sont bornées. En 



84 CHAPITRE IV. 

effet, soit P(^) Tun d'eux; on a entre a et b 

\V{x)\-^\f{^x)\-^\V{x)-j\x)\<M-^m, 
et pour les poljnomes que nous prenons : /?z^M; donc 

1P(^)[^2M 

entre a et b. 

Dès lors, on pourra écrire tous ces poljnomes sous la forme 



/=« 



P(^)=^r.- 



/ = 



{x ~ Xçj') .. Ax — Xj-x^jx — .r/^i). . . (.r — Xn) 

{Xi Xq) . . . [Xi Xi—i ) ( Xi Xi-i-i ) . . . ( Xi — Xfi ) 



oii :ro, ^), . . ., Xn sont n -+- i abscisses y?jj;e5 comprises entre a 
et b et où les jk/ restent en valeur absolue inférieurs à 2 M. 
Nous emploierons la notation (due à M. Poincaré) 

Bo 37" + . . . -1- B„ < b; or" -1- . . . -4- b; 

(en supposant By, . . . , B^^ tous positifs), pour indiquer que l'on a 

\^jA^K (P = o, I, ..., n). 
Nous aurons alors 



P(x)<iM^ 



1 = 1 



(X -h\Xo\)...(^-^ \Xi-l\)(x-^ \Xi^i \) ...(x-\-\Xn\) 
{Xi — Xo) . . . {Xi— Xi-i){xi— Xi-^i ) . .. {Xi — X:^)\ 



Le second membre est un poljnome dont les coefficients sont 
fixes, Mo^" + . . .4- lM/^. Pai' conséquent, on a, pour tous les 
poljnomes considérés, 

(4) |AoI:SMo, ..., IA,lf.M„. 

Par suite, /n(Ao, A,, . . ., A,,) atteint sa limite inférieure u. pour 
au moins un point (ao, a,, . .., a,;) du domaine D (*) défini par 
les inégalités (4). 

Ainsi, il existe bien au moins un polynôme cV approximation 
de degré n : n(^) ^ ao^" + . . . -h a,^. Ceci montre en même 
temps que |a est positif ; sans quoi, si [jl était nul, /(^) serait iden- 



(') Ce raisoiiiicinont n'cxclul pas Ihypolhùsc où a, = o, c'est-à-dire où le 
degré du polynôme \\{x) serait inférieur à n. Nous le considérerions encore 
comme de degré 11 avec un premier coefficient nul. 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 85 

liqiie entre a et Z> à un polynôme n(^) de degré n^ ce qui est 
contraire à riijpothèse. 

Nous allons démontrer maintenant une propriété essentielle 
des polynômes d'approximation : // existe un seul polynôme 
d^ approximation de degré donné n pour la fonction con- 
tinue f[x) dans V Intervalle (a, b). 

Nous savons déjà qu'il en existe au moins un : \[(^x). Posons 
y =i f(^x) — n(^). La fonction continue \y\ atteint son maximum \x 
pour au moins une valeur de x dans l'intervalle (a, b). Soient a une 
telle valeur et ^ la valeur correspondante de jk; on a [i = zt a. 
Appelons A' l'ensemble des points a' pour lesquels p'= a et A" 
l'ensemble des points a!' pour lesquels on a [j''=: — 'Ji.; l'un au 
moins des ensembles A', A'^ n'est pas nul. Ces deux ensembles 
sont évidemment fermés puisque y est continu. D'autre part, on 
peut trouver un nombre 20 tel que l'oscillation de ^^' soit infé- 
rieure à un nombre positif î << [j. dans tout intervalle de longueur 
inférieure ou égale à 20, compris dans («, b). 

Par suite, dans tout intervalle I de longueur 3 ayant pour milieu 
un point a! il n'y aura aucun point a". De même dans tout inter- 
valle J de longueur ayant pour milieu un point a" il n'y aura 
aucun point a'. Enfin, on pourra former autour de tout point r 
qui n'appartient ni à A', ni à A'^, un intervalle R ayant ce point 
pour milieu et qui ne contient au sens étroit aucun point de A 
ni de A'^ D'ailleurs tous les points de (a, b) sont chacun intérieurs 
au sens étroit à au moins un intervalle I, J, K. Par suite, on peut 
former un nombre fini k de ces intervalles tels que chaque point 
de (a, b) soit contenu au sens large dans l'un au moins d'entre 
eux et il en sera de même des intervalles contigus qu'on obtient 
en supprimant dans les k précédents leurs parties communes. 
Cela fait, si deux intervalles consécutifs ne renferment ni l'un ni 
l'autre aucun point de A^ (ou aucun point de A''), on réunira ces 
deux intervalles en un seul; après avoir fait cette opération aussi 
souvent que possible, on se trouvera avoir divisé le segment (<^, b) 
en un nombre fini d'intervalles consécutifs, L|, Lo, . . ., L^,, qui 
ne contiennent chacun au sens large que des points d'un seul des 
ensembles A' et A'', et tels que deux intervalles consécutifs ren- 
ferment des points l'un de A', l'autre de A'^ 



86 CHAPITRE IV. 

De plus, si hç renferme des points de A', L^.,., des points de A'^, 
la distance du dernier point de A' contenu dans L^ au premier 
point de A'^ contenu dans L^^, est supérieure à 20. Par suite on 
peut supposer que l'extrémité commune des deux intervalles L^, 
L^_^, n'appartienne ni à A', ni à A'^ et que sa distance aux points 
de (A'+A'') soit supérieure à 0. D'ailleurs il pourrait arriver 
qu'il n'y ait qu'un seul intervalle L qui serait (a , b). 

Le raisonnement précédent s'applique quel que soit le po- 
lynôme n(^). Lorsque II (^) est un polynôme d^ approximation, 
je dis que le nombre p des intervalles L est supérieur à n -\- \ , 

En effet, soient a, Çi , Ço? • • • ? \p-\ -, ^ les extrémités de ces inter- 
valles, et considérons le polynôme (*) 

Je dis que si /> — i^/^, on peut trouver un polynôme R(x) de 
degré n pour lequel le maximum m de \f{^x) — î^('^)l ^^^^ 
inférieur au maximum [^. de \y\z=L\f{x') — n(^)|. En effet, 
si p — i$/i, Q('^) est de degré n au plus et par suite aussi le 
polynôme : R(^) = n(x) — Q(^)- Or Q(^) ne change de signe 
qu'en passant d'un intervalle L^ à l'intervalle consécutif L^^, . Par 
suite, on pourra choisir le signe de r^ de façon que Q(^) soit 
positif dans tout intervalle L^ qui ne contient que des points a' et 
négatif dans les autres. 

D'autre part, dans tout intervalle I, on a 

et, comme aucun intervalle I ne contient de points ç,, on a, dans 
tous ces intervalles, 

l-M5/'-'<lQ(^r)|<|rJ(6-a)/'-i. 

Enfin, Q(^) est positif dans tout intervalle I (car tout intervalle I 
est contenu dans l'un des intervalles L qui contiennent des 

points a'). Alors, si l'on a pris |rj| << -^-^ 7~il' on aura, dans tous 

les intervalles I, 

o </(^)_ n(^) - Q(:r) < iJL -\r\lv-K 
(') Dans le cas où il n'y aurait quun seul inlervalle L, on prendrait Q( a: ) = tj. 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 87 

De même, on aura, dans les intervalles J, 

_ ( jj _ I rj r>-i )< /(ar) — R C^X o. 

Enfin, appelons E l'ensemble des points de (a, h) qui ne sont 
intérieurs au sens étroit à aueun intervalle I ou J, Les valeurs 
de \y\=^\f[x) — n(^)|, pour les points de cet ensemble, sont 
limitées supérieurement et la limite supérieure ]jJ est certaine- 
ment inférieure à [jl. Car cette limite supérieure \}J est atteinte, 
soit en un point extérieur aux intervalles I et J, soit en ime 
extrémité de ces intervalles, mais jamais en un point intérieur au 
sens étroit à un intervalle I ou J, comme le sont les seuls points 
où \y\ = iji. Par suite, en tout point de l'intervalle (a, b), la fonc- 
tion \f{x) — R(^)| est inférieure à l'une des quantités 'jl — |y, |o/'""' 
ou \}-' <C \^' Donc Il(^) n'est pas un polynôme d'approximation 
de degré ii. 

Réciproquement, soit un polynôme P(^) de degré n et m le 
maximum de \y\ en posant j^ =y(^) — P(^). Formons les inter- 
valles L correspondants. S'ils sont en nombre supérieur à n -\- \ ^ 
il n'y a pas de polynôme V^[x) d'ordre /?, distinct de V[x)^ 
pour lequel le maximum ni^ de \f{oc) — Pi(^)| soit inférieur ou 
même simplement égal à m. En effet, dans chaque intervalle L, 
\j\ atteint au moins une fois son maximum. Soient donc, par 

exemple, 

a; <a';<a;<a'X... 

des abscisses en nombre supérieur à n -+- i pour lesquelles y 
prend les valeurs m^ — m^ m, — /», .... Si l'on a mi^m^ le 
polynôme de degré fi non identiquement nul 

^(x) = [f(x) - F{x)] - [f{x) - P, (x)\ 
prendra en a',, a'J, . . . des valeurs 

4^(0^0, 4^(0^0, ^{oi'.jào, 

Ces conditions, en nombre supérieur à /f -\- i , impliquent 
toujours l'existence de Ji -+- i racines inégales ou égales pour 
à{x)j ce qui est impossible. Donc ^(^) est identiquement nul, 
c'est-à-dire que P^ {x) est identique à P(^). 



CHAPITRE IV. 



De ce qui précède il résulte d'abord quil n'existe jamais 
qu'un seul polynôme d'approximation de degré n. Il résulte 
aussi que la condition nécessaire et suffisante pour qu un po^ 
ly nome de degré n soit un polynôme d' approximation est que 
le nombre des intervalles L soit supérieur à n -\- i. 

Etant donnée la fonction f{x) continue entre a et b^ il existe un 
poljnome d'approximation déterminé pour chaque valeur du de- 
gré n. Soit n„(jc) ce polynôme et ij.„ le maximum de \f{x) — n„(^)| 
dans l'intervalle («, b). Si l'on suppose cpie f{x) ne coïncide 
entre a et b avec aucun polynôme, ^n est une fonction univoque 
et positive de n. C'est même une fonction qui n'est jamais crois- 
sante. Car Un{x) peut être considéré comme un |)olynome de 
degré /i + i et, par suite, on a [^.«^ ji-n+j • Les nombres jjl^ ne 
croissent jamais et restent positifs : ils tendent donc vers une 
limite 1. Le théorème de Weierslrass (qui a été obtenu posté- 
rieurement aux travaux de TchebichefT) nous apprend que cette 
limite est nulle. En efï'et, dans le cas contraire, il n'y aurait 
aucun polynôme V{x) tel que l'on ait dans tout l'intervalle {a, b) 

1/(07) -P(:r)I<)., 

ce qui est contradictoire avec le théorème de A\ eierstrass. 

Nous avons observé que le degré de Un(x) pouvait être infé- 
rieur à n; soit /?2« le degré de n„ ; m^ est nécessairement une 
fonction de ;^ qui n'est jamais décroissante. De plus, on ne peut 
avoir /??«= /^/«+i que si [j.« = ja/z+i • Or, lorsque n croît indéfini- 
ment, [JL;, est toujours positif et tend vers zéro; par conséquent, 
iKji décroît en passant à ut-z^+i pour une infinité de valeurs de n 
(sinon pour toutes). Par suite, m,i croit (et d'au moins une unité) 
pour une infinité de valeurs de /i. Donc le degré nin de n„(^) 
croît indéfiniment avec n. 

Enfin, on voit que la série de polynômes dont la convergence 
uniforme vers f{x) est la plus rapide pour des degrés successifs 
donnés sera la série 

n, + (n2— Ti,) + (113— no) + ...-+- (iT„—n„_,)+..., 

qui présente le caractère de représentation univoque que nous 
avions voulu obtenir. Toutefois, observons que la correspondance 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 89 

entre le développement et la fonction ne se poursuit pas dans tous 
ses détails. Ainsi, la somme des polynômes d'approximation de 
degré n de deux fonctions continues n'est pas toujours le poly- 
nôme d'approximation de la somme de ces deux fonctions. 

En utilisant le théorème de Weierstrass on peut arriver à cal- 
culer avec autant d'approximation que l'on veut les polynômes 
de ïchebicheff. La méthode peut ainsi être utilisée pratiquement 
pour la représentation effective en série de polynômes. 

Pour le voir, nous démontrerons d'abord que la correspon- 
dance entre une fonction continue et son polynôme d'approxima- 
tion de degré /z, est continue. 

Autrement dit, soient 

n,j(:r) = aoa7"H- y.^x^-'^-\-. . .-4- 7.,^ 
nrt(^)-F An„(:r) = («o-t- Aao)57«-i-. . .-f-(a/j4- Aa„), 

les polynômes d'approximation de degré n de deux fonctions/(^) 
et g{x) continues dans l'intervalle (a, b). Je dis que, à tout 
nombre positif i\^ on peut faire correspondre un nombre z tel 

que V inégalité 

\f{x)-s\x)\<z, 

supposée vérifiée dans tout r Intervalle (a, b), entraîne 

|Aao|<r], |Aai|<r^, ..., [Aa,, |<r^. 

En effet, soit \k le maximum de \y\ en posanty =y*(^) — W,i{x). 
Si l'on écrit aussi z=zg(^x) — n„(^) — An,i(^), le maximum 
de 1^1 est au plus égala celui de \g{x) — II„(^x)|, puisque 11/^-1- M\,i 
est le polynôme d'approximation de g. Or, on a 

\g{x)-U,,{x)\^^\8{x) -/(^)1 + \f{x) - nn{x)\< IX + s. 

Donc 1^1 << 'Ji + £ entre a et b. 

D'autre part, l'ormons les intervalles L relatifs ii y. Il y en a 
un nombre flni A" >> /i -f- i . On pourra prendre un point dans 
chacun de ces intervalles de façon que les valeurs correspon- 
dantes de y pour les abscisses 

«1 < «2 < «3 < 5t4 < . . . < a,i+2 < . . . 



.T> 



90 CHAPITRE IV. 

soient alternativemeDt -\- a et — a. On aura donc, à la fois, 
— l^-t< g{'J.i) — n«(a/) — An„(a,) < |JL -f- £, 

D'où, en ajoutant membre à membre, 
ou 

An„(a,)>— 2£, An„(a2)<-i-ti£, An„(a3)>— 2£, .... 
Je vais montrer maintenant que Ton a nécessairement 

lAn„(:r)| <2£ 

pour tous les points de l'un an moins des intervalles aiao, a^a 
7.3 aj, ..., <y.nj^\<y-njf.i' Il f»ie suffira de faire voir que dans le cas 
contraire le polynôme LWn{oc) de degré n aurait au moins n 
maxima ou minima distincts, ce qui est évidemment impossible 
puisque la dérivée de AII;^ est de degré {n — i). 

Supposons donc qu'il existe, dans chacun des intervalles indi- 
qués, au moins une valeur a',, a!,, .. ., a)^^^ de x pour laquelle on 
ait|An,^(^)|>2£. 

Si l'on a An^(a,)-< — iz ou ùiW,i(^y.'.,) <^ — 2£, comme on 
a An„(a,)>> — 2£ et An,i(a3) >> — 2 s, il y a un minimum de An„(jc) 
atteint dans l'intervalle a, ag. Sinon, on a 

An„(a'i)>2£, An„(a'2)>2£ et An„(a2)<2£; 

il y a donc encore un minimum entre a, et ol-^. 

De même, si An„(a'^) > 2 £ ou LWn^y.'.^)^ 2 s, comme on a 

An,i(a2)<2£ et All„(a4)<2£, 

il y a un maximum entre 7.0 et a^ ; sinon on a An„(a2)< — 2£, 
An,t(a:,)< — 2£ et An/^(a3)> — 2£ et il y a un maximum 
entre a^ et a.j. Et ainsi de suite : il y a alternativement un mi- 
nimum, puis un maximum dans chacun des n intervalles a, as, 
aaaj, a;,as, . . ., a,,a/,^2. 

xVinsi, il est bien prouvé qu'il existe un intervalle H/ : (a/, a/^,) 
dans lequel on a constamment [An„(.r)| < 2£. 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 91 

Lorsque ^(^•) varie en restant lel que l'on ait \f{oc) — g{^^-)\ <C ^i 
AU,i varie, mais l'inégalité |AIJ„(jc)| <C 2£ est toujours vérifiée dans 
l'un au moins des n -f- i intervalles H,, IL, . . . , i^n+\ ^^^^ q'»e ce 
soit nécessairement toujours le même. Prenons n -f- i po'inisjlxes 
dans chacun des intervalles H/ : ûo'l\ x[^\ ..., ^J'I,, on pourra 
toujours mettre An//(^) sous Tune des n -\- i formes 

'■^'^' .^ (x - ^'/) )...(x — x\i]_, ){x - x'iiU )..Aor- x',il, ) 



h-\ 



\ 



Or, on 



( t = I, . . ., /i 4- 1), avec \u/[^\<^iz. 
^i{x)<it{Ufx'^-^-...^M\\}), 



avec 



// = «-+-! 



' -^... + M,- ^ \(x^,l-x^y)...{x^,i^-x,il^{x)i^-x^ii^...{x^-x''l^\ 
n = 1 

Les quantités M^^ sont des nombres positifs fixes indépendants 
de la fonction g{x) ; soit N le plus grand de tous ; N est indépen- 
dant àe g(^x) et de e; on peut donc prendre £ de façon que Ton 
ait 2 sN <; T,, quel que soit le nombre positif donné d'avance r,. 

Par suite 

C'est ce qu'il fallait démontrer; on en déduit en même temps 
que dans l'intervalle (a, b) on aura 

I An„(^)I < r,{cn^ c«-i 4-. . .-M), 

en supposant c >> 1 6 1, c^[rt|. 

Par suite, en prenant 'f\ assez petit, on pourra rendre le premier 
membre inférieur dans (a, ^), à une quantité positive donnée r/. 

Revenons à l'application que nous avions annoncée. Etant 
donnée la fonction f{x) continue dans (a, b)^ on peut prendre 
pour fonction g{x) un certain poljnome P(^), d'après le lliéo- 
rème de Weierstrass. Or la reclierche du polynôme d'approxima- 
tion n^jH- All/i dUin polynôme donné P(.^) est évidemment un 



92 CHAPITRE IV. 

problème algébrique que l'on pourra toujours résoudre par des 
moyens d'ailleurs plus ou moins compliqués, sur lequels nous ne 
nous étendrons pas. 

On obtient ainsi les coefficients du polynôme d'approximation 
n^ de fi^x^ avec une approximation inférieure à un nombre 
quelconque Tj donné d'avance. Ceci revient à dire que l'on sait les 
calculer. Ainsi, lorsqu'une fonction continue est donnée de telle 
manière que Von sache calculer les polynômes approchés de 
Weierstrass, le calcul des polynômes cV approximation de 
Tchebicheff n' exige cjue des opérations algébricjues. 



CHAPITRE V. 



REPRESENTATION DES FONCTIONS DISCONTINUES 
PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES. 



Nous avons vu que la somme d'une série de fondions conti- 
nues dans un intervalle («, h) peut être une fonction discon- 
tinue (p. 38). Nous avons vu aussi que la somme d'une telle 
série peut être représentée par une série de polynômes qui con- 
verge dans (a, b). 

Par conséquent, le théorème de Weierstrass (p. 5 1) n'admet pas 
de réciproque. On peut seulement observer que, si une fonction 
discontinue est représentable dans un intervalle (a, b) par une 
série de polynômes, cette série ne converge pas uniformément 
dans (a, b); elle n'y converge même pas quasi-uniformément 

(p. 42). 

Il est naturel, maintenant, de chercher à étendre à des classes 
de fonctions plus vastes que celle des fonctions continues les 
méthodes d'approximation par des polynômes (*). 

Le procédé le plus simple consiste à trouver une fonction con- 
tinue de ^, f{^i s), qui tende vers la fonction donnée f{x)^ 
lorsque £ tend vers zéro. On pourra ensuite déterminer un poly- 
nôme P(^, s) tel que l'on ait, dans l'intervalle (<7, 6), 

Par suite, on aura 

P(^, £) =f{x, £)-i-0£ 



(') Pour tout ce (|ai concerne les fonctions discontinues, je ne puis mieux 
faire que de renvoyer aux Leçons sur les fonctions discontinues de M. Baire, 
qui paraîtront quelques semaines après cet Ouvrage. M. Baire faisait son Cours 
au Collège de France en même temps que je faisais le mien à l'Ecole normale, et 
j'ai été bref sur les parties qu'il traitait. On sait d'ailleurs quelle autorité ses 
travaux si profonds et si personnels confèrent à M. Baire dans ces questions. 



94 CHAPITRE V. 

avec 

I9I<i, 

et P(^, s) tend vers/(^) lorsque £ tend vers zéro. On peut donc 
écrire 

/(:r)=P(^, I)-I-[P(^, O"^^""' '^l""-'- 

De plus, on voit que si dans un intervalle partiel (<7, , 6, ), 
fix^ s) tend uniformément vers f{oc)^ la série convergera unifor- 
mément vers f{x) dans ce petit intervalle. Si l'on désire qu'elle 
converge de plus absolument dans un intervalle on utilisera la 
remarque de la page Ç)6. 

Fonctions discontinues en des points isolés. — Considérons 
d'abord une fonction /"(jî;) continue dans l'intervalle {ci, b) sauf 
aux points d'abscisses x^^ x-i^ ..., x,i' En prenant £ suffisam- 
ment petit, elle sera continue dans le domaine D formé par ce 
qui reste de l'intervalle («, b) lorsqu'on enlève les segments 
'jiLxi — £, Xi-\-e). Nous allons maintenant former une fonction 
f(x, e) continue dans tout l'intervalle («, 6), coïncidant avec/"(x) 
dans le domaine D et qui tende \ers /{x). Pour cela, supposons 
d'abord que la fonction /(:r) soit bornée entre a el b; alors /(.r) 
a une certaine valeur finie en Xi. Soient A, A'j B les points de la 
courbe y=f(x) qui ont pour abscisses Xi — £, ^/ 4- £, Xi. Nous 
prendrons pour les portions de la courbe y =:y(x, £) comprises 
entre les droites : x ^= Xi — £, x ^ xi -}- £, les droites AB, BxV. 
Et de même dans tous les segments c7/. La fonction f{x, t) ainsi 
définie est continue dans (a, b) et lend vers/(^). Elle tend même 
uniformément vers f{x) dans le domaine D qui correspond à une 
valeur déterminée quelconque de £. 

Si, pour une abscisse^/, la valeur de la fonction y(^) était lii oo, 

on prendrait pour ordonnée du point B le nombre ziz -• 

Fonctions dont les discontinuités forment un ensemble 
dénombrcible E. — Il n'est pas évident qu'on puisse trouver une 
fonction dont les discontinuités forment un ensemble dénom- 
brable (juclconque. 



REPRÉSENTATION DES FONCTIONS DISCONTINUES. gS 

Ainsi, à un point de vue analogue, on sait que l'ensemble à deux 
dimensions des singularités d'une fonction analytique au sens de 
Weierstrass est un ensemble fermé. Il y aurait donc lieu de se 
demander si le seul fait d'imposer à une fonction réelle certains 
points de discontinuité sur l'axe Ox n'entraîne pas à lui seul 
l'existence d'autres points de discontinuité. 

Cependant nous allons montrer qu'on peut considérer un 
ensemble quelconque E de points sur l'axe O^ comme ensemble 
de points de discontinuité, lorsque cet ensemble E est dénom- 
brable. En effet, soient «,, a^, «;$, ..., <:^,i, ... les abscisses 

des points de E. Appelons y(^) la fonction qui est égale à - 

pour x^=- a,i et qui est nulle jjour les points a (pii n'appartien- 
nent pas à E. Cette fonction admet comme points de discontinuité 
les points de E et ces points seulement. En effet, dans un inter- 
valle {aji — A, a,i-\- h) si petit qu'il soit autour de ««, il y a des 
points a (sans quoi E aurait la puissance du continu). Par suite, 
l'oscillation àe f[x) au point a^ est certainement supérieure ou 

égale à -• Ainsi tous les points cia sont des ])oints de disconti- 
nuité; il n'y en a pas d'autres. En etlet, soit s un nombre positif 
donné et soit N un entier déterminé supérieur -a -> Si un point a 

n'appartient pas à E, il est distinct des points <2,, «o? • • •? ^^> 5 
soit ih la distance minimum de a à ces points. Tous les points x 
compris dans l'intervalle (a — A, a + Zi) sont des points de E de 
rangs supérieurs à N, ou bien n'appartiennent pas à E. Dès lors, 
on a 

pour 

\x — a 1 < // . 

Par conséquent, les points qui ne sont pas dans E sont des 
points de continuité. 

Nous allons montrer (') q^\x une fonction j\x) définie clans un 
intervalle {a, b) et dont l'ensemble E des discontinuités est 



( ' ) Voir Lebesgue^ Sur V approximation des fonctions {Bulletin des Sciences 
mathématiques, novembre 1898, p. 278). 



96 CHAPITRE V. 

dénomhrahle , peut être représentée par une série de polynômes 
[qui converge uniformément dans tout intervalle intérieur à 
un intervalle de continuité^ 

Soient G l'ensemble des points de c(E) qui appartiennent à E', 
H l'ensemble des points de c(E)qui n'appartiennent pas à E'. Tout 
point de H est situé dans un intervalle de continuité; soit (A', W^ 
le plus grand possible (les points /r', k' appartiennent à E ou E') 
(p. 7). Les points de G ne sont dans aucun intervalle de conti- 
nuité. Observons maintenant que les intervalles (/:', A") n'ont pas 
de parties communes, il j en a donc un ensemble dénombrable 
(p. •;). Par suite les points qui appartiennent à E et les points A', 
k' forment un ensemble dénombrable C : c,, C2, c.,, . . ., Cn-, • ••• 

Pour démontrer le théorème, il nous suffira de déterminer une 
fonction. /(:r, n) qui tende \ersf(œ) lorsque n croît indéfiniment et 
cela uniformément dans tout intervalle de continuité. Dans ce but, 
considérons dans la suite des n abscisses c,, Co, ..., c„, deux 
points Cp, Ce, consécutifs sur l'axe Ox. Les points Cp, Ce ne peu- 
vent être, ni l'un, ni l'autre, intérieurs au sens étroit à un inter- 
valle (A', A"). Par suite, s'il y a entre Cp et Ce un point d'un inter- 
valle (A', A"), cet intervalle est contenu tout entier (au sens large) 
dans Cp, Ce- 

Alors deux cas pourront se présenter : i" il j a entre Cp et c^, 
zéro ou plusieurs intervalles (A', A"); nous prendrons pour arc de 
la courbe yz=zf{^x, n) compris entre les abscisses Cp et Ce-, Id 
droite C^G^ en désignant en général par M le point de coordon- 
nées : m, /(ni); 2"il y a entre Cp et Cg un seul intervalle (A', A"); 
soit alors (A',, A',') un intervalle compris dans k' k" et tel que 

/.' /.' '^ '^ 7. If /.Il 

/i A 1 — - — h Al. 

n 

La fonction /(x) est certainement continue dans l'inlervalle 
(/^n^^Dî extrémités comprises. Nous prendrons pour la courbe 
y^^/i^j tf), l'ai'C de courbe continu L]e }' ^=/(x) compris entre 
K', et K'J et nous joindrons Cp à K', , C^ à R'J par des droites. 
Si mainlenant on suppose que /(x) n'est pas finie, elle n'a 
de valeurs infinies que pour des points d'abscisses c,,^, c^,., .... 
Alors, dans la construction précédente, nous prendrons pour 
point C^,^ le point d'abscisse c^,. et d'ordonnée àz n [suivant que 



ni:PItÉSEXTATIO\ DES FONCTIONS DISCONÏINLKS. 97 

f(^c„^)= ztcc]. La courhe y =f(^x, /i), ainsi définie, est continue 
quel que soit n. Je dis qu'elle tend \ers f(.x). En efï'ct, /{cp, n) 
est égal à f{cp) pour p^n^ ou croît indéfiniment si f(Cp) est 
infini. De même, considérons un intervalle f/.^, /r"); ses extré- 
mités sont deux points Cy, Cp. Par suite, pour ii^q et /?0> /', 
y*(^, /z) coïncide di\ecf{x) dans l'intervalle A"', Â*'! ; si l'on considère 
une abscisse x comprise entre k' et /r", on aura fix) =zf{x^ n) 

lorsque n est supérieur aux quatre nombres : q^ r, ~ r?» ^, 

Donc, /(^, /^) tend versy"(^) dans tout intervalle de continuité, 
et cela uniformément dans tout intervalle yZ^e intérieur au sens 
étroit à cet intervalle de continuité. 

Restent enfin les points de continuité appartenant à G; soit 
a l'abscisse de l'un d'eux, c'est la limite de certains points Cn- 
Comme /(^) Q,if{x^ n) sont continus pour x = a, on peut déter- 
miner £ de façon que l'on ait 

l/(^) -/(«)l < l et |/(:r, /i) -/(a, n)\ < ^ 

pour 

\x' — a| < £. 

Or, quel que soit /?, il j a des points Cp dans l'intervalle 
(a — £, a + s) et d'indice aussi grand que l'on veut, en particulier 
d'indice plus grand que n, soit c^^ l'un d'eux. Puisque pfi > /«, on a 

et comme |c„^ — a| <^ £, on aura 

l/(C/-„)-/(a)i < ^' |/(C/.„, '0-/(a, n)\ < -. 
D'où 

Ainsi, /(^, 71 ) tend vers /(^) même aux points de l'ensemble G. 

Voici une autre démonstration, due à M. Lebesgue : 

Soit Cl, C2, C3, ... un ensemble E de valeurs de x partout dense 

et contenant les valeurs de discontinuités. Rangeons par ordre de 

grandeur les ?i premières valeurs de celte suite, on obtient ainsi la 

suite 

(S) a, Ca,, C'j^, ..., Ca,,, ^. 

E. B. n 



g8 CHAPITRE V. 

Désignons par /(^, n) la fonction continue de x égale à /(jc) 
pour chacune des valeurs de S et qui varie linéairement quand x 
varie entre deux valeurs de cette suite. 

Je dis que, quand n croît indéfiniment, f{x, n) tend vers/(.r). 
Cela est évident si x appartient à E. S'il n'en est pas ainsi, x est 
compris entre deux nombres de la suite S, c<^^^^ Cy^^ el/{x^ n) est 

comprise entre 

fic^J et /(cyj. 

Mais/(:r) est continue au point x^ puisque:?: n'appartient pas à E, 
donc, Cft^ et c^^^ tendant vers x car E est partout dense, /{cr^J 
et/(CyJ tendent vers/(^), et il en est de même de/(^, n). 

Jl est d'ailleurs évident que la convergence est uniforme dans 
tout intervalle de continuité; mais il faut des précautions supplé- 
mentaires pour que la convergence soit absolue. 

Enfin, on peut remarquer que si E a servi à définir les po- 
Ivnomes P^,^ de la page 80, la fonction considérée admet le déve- 
loppement n, 4- (Ilo- — n, ) -f- . . . , indiqué à cet endroit. 

Théoj'ème général de M. Baire. — Les méthodes précédentes 
nous donnent le moyen d'exprimer certaines fonctions disconti- 
nues sous l'orme de série de polynômes. Il serait très intéressant 
de déterminer, a priori, toutes les fonctions auxquelles il y a lieu 
d'étendre ces méthodes. 

La solution complète de ce problème a été obtenue |iar 
M. Baire ('). Nous n'exposerons pas sa démonstration qui nous 
entraînerait trop loin; mais, pour énoncer le résultat, il nous 
faut définir la continuité relativement à un ensemble. 

Considérons une fonction /(^) définie en tous les points d'un 
ensemble linéaire E, et soit Xq un point quelconque de E. Nous 
dirons (\\ie f{x)est continue en x^^ relativement a l'einsemble E, 
si Von peut faire correspondre à tout nombre positif s un 
nombre a tel que Von ait 

|/(;r)-/(ro)|<E, 

pour tous les points x de l'ensemble E qui sont compris dans 



(') Voir BAiRii;, Sur les fondions de variables réelles. Tlièsc soutenue en 
mars 1899. 



REPRÉSIÎNTATION DES FONCTIONS DISCONTIXLES. 99 

Vinlervalle (x^ — a, Xq-}- a). (En particulier si E est l'ensemble 
(les points d'un iiilervalle, la conliniiité par rapport à E est la con- 
tinuité au sens ordinaire). 

Mais cette dcfinition ne peut correspondre à une propriété 
de/"(^) en Xq que si (aussi petit que soit a) il existe toujours au 
moins un [)oint de E autre que Xq dans l'intervalle (xq — a, ^o -h ^), 
c'esl-à-dire si tout point de l'ensemble est point limite. Jl faudra 
même se restreindre au cas où E est un ensemble parfait si l'on 
veut f[ue la continuité en tous les points de E entraîne la conti- 
nuité uniforme dans E. Supposons donc E parfait; au voisinage 
d'un point de E, il y a toujours une infinité d'autres points de E. 
Si, au voisinage de tout point de E, il y a des points de E où l.i 
fonction est continue relativement à E, nous dirons que la fonc- 
tion est ponctuellement discontinue relativement à V ensemble 
parfait E. 

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème général de 
M. Baire : La condition nécessaire et suffisante pour (ju^inc 
fonction uniforme puisse être représentée par une série de 
polynômes est que cette fonction soit ponctuellement discon- 
tinue relativement à tout ensemble parfait ('). 

D'après la remarque que nous avons faite (p. 65), c^est aussi 
la condition nécessaire et suffisante pour cju! on puisse consi- 
dérer la fonction comme limite de fonctions continues. 

Admettons ce théorème. Il va nous permettre de donner un 
exemple d'une fonction qui n'est pas limite de fonctions continues. 
Il suffit de considérer la fonction /(^) définie entre o et i, qui est 
égale à o pour les abscisses rationnelles et à i pour les autres. 
Si l'on considère en particulier l'ensemble linéaire parfait E con- 
stitué par tous les points de l'intervalle (o, i), il est manifeste 
que tous les points de E seront des points de discontinuité relati- 
vement à E. Par suite, la fonction n'est pas ponctuellement discon- 
tinue relativement à tout ensemble parfait. 

Classification de M. Baire. — M. Baire a proposé une classi- 
fication des fonctions au point de vue qui nous occupe. Il appelle 



(') La démonstration de ce théorcnie est doveloppce par M. Henri Lebesgue 
dans la Note II. 



lOO CHAPITRE V. 

fonctions de classe o toutes les fonctions continues. Rappelle 
ensmie fonctions déclasse i toutes les fonctions discontinues qui 
sont limites de fonctions continues. Nous en avons trouvé des 
exemples à propos de la convergence des séries. Toutes les fonc- 
tions qui ont une infinité dénombrable de discontinuitc's sont des 
fonctions de première classe. Le théorème de Baire nous apprend 
même à quelles conditions une fonction discontinue est de pre- 
mière classe. 

De même, on appellera fonctions de seconde classe toutes les 
fonctions qui sont limites de fonctions de première classe sans 
être de classe o ou i. Telle est la fonction y( .3;) que nous avons 
définie au paragraphe précédent où nous avons montré qu'elle 
n'est pas de première classe. Elle est bien d'ailleurs limite de 
fonctions y„(^) de première classe. Il suffit de prendre ^ouv fn{oc) 
une fonction égale à i entre o et i sauf pour les points d'abs- 
cisses — (avec p^q^n)j lesquels sont en nombre limité et où l'on 

suppose fji[x) = o. 

Plus généralement, on appellera fonction de classe n, toute 
limite de fonctions de classe n — i, qui n'appartient à aucune des 
classes o, i, 2, ...,7? — i. Enfin, on peut définir des fonctions 
de classe co, to 4- i , • . . , w-, . . . , w*^, ... en désignant par ces 
symboles les divers nombres transfinis de M. Cantor; mais nous 
n'y insistons pas. 

Les théorèmes que nous avons obtenus nous permettent d'af- 
firmer que les fonctions de classe o ou i sont les seules qui soient 
représentables par des séries de polynômes. 

Mais, d'après la définition même des fonctions de seconde 
classe, on pourra les représenter par des séries doubles de 

a — 00 3 rr 00 

polynômes ^ ^ ^^a,pj la sommation étant elTectuée d'abord par 

rapport à [j, puis par rapport à a, sa/is qu'on puisse réduire cette 
série double à une série simple. Et cette propriété caractérise 
les fonctions de seconde classe. Plus généralement, une fonction 
de classe n sera représentable par une série multiple d'ordre n 
dont tous les termes sont des polynômes. 



NOTE I. 

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 
Par m. Paul Paix levé. 



4. Séi'les génératrices. — Considérons une fonction ana- 
lytique f{t) holomorphe (') pour ^ = o, et soit : 

( 1 ) /( ^ j = «0 + «1 ^ -T- «2 ^- H- . . • -i- «/i ^" H- • . • 

la série de Mac-Laurin qui la définit pour t voisin de zéro. Con- 
sidérons, d'autre part, un développement de la forme 

(2) cpo(«o)-^-9i(«o, <^i) + - • . + 9/^(«o,«i, • • • a/J)-^.. . 

où chaque terme 0,1 est une fonction entière donnée de «o, 
«,, ... ciji' l £ conviens de d ire qu'un tel développement est une 
série génératrice s'il converge et représente /'( i ), quelle que 
soit la fonction /{()-, sous la seule condition que /(t) soit liolo- 
morphe pour t réel, positif et inférieur ou égal à i . 

La série génératrice (2) sera dite normale si chaque terme C3„ 
de (2) est linéaire et homogène en a,), <:/», . . ., ««. 

2. Etoile d^holoniorphie. — Admettons, pour un instant, que 
nous connaissions une série génératrice (2); z désignant une 
quantité complexe, introduisons la fonction f^[t)^f\zt) et 
appliquons à cette fonction le développement (2). La série de 
Mac-Laurin qui représente y*i (^) est 

(3) /i(0 = ci;-^ a^zt -^ . . .-^ aaz" t" -^ . . ., 



( ' ) Cette fonction peut être une branche ( bien déterminée pour t voisin de zéro) 
d'une fonction multiforme. 



z 



")- 



102 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

et le développement (9.) correspondant est 

Donnons à z une valeur invariable Zq : ce développement (4) 
converge et représente /<( i )=/(^o)5 si la fonction f\(t) ou 
f(zot) est holomorphe quand t croît par valeurs réelles de o à i 
(limites comprises). Interprétons cette condition. 

Soit P l'affixe du point ^0 dans le plan complexe : quand i 
croît par valeurs réelles de o à i, le point complexe ZqC décrit 
le segment de droite OP. Pour que f\{t) soit holomorphe 
pour o£^l I, il faut et il suffit que la fonction {ou branche de 
fonction) f{z) soit prolongeable régulièrement, à partir de O, 
le long de OP, juscju^au point P inclusivement. Appelons A 
l'ensemble de tous les points P tels que cette condition soit 
remplie : les points du plan exclus de A forment des demi-droites 
ayant pour origines les points \x tels que la fonction f{z) soit pro- 
longeable régulièrement le long de 0[i. jusqu'au point |jl exclusi- 
vement; ces demi-droites s'obtiennent en continuant, au delà 
de chaque point a, la direction 0[j.. 

Adoptant la terminologie de M. Mittag-Leffler (un peu modi- 
fiée), j'appellerai le domaine A Vétoile d'holomorphie ('), de 
centre O, attachée à la branche de fonction f{z). Les points tx 
seront les sommets de l'étoile. 



(') Quand la fonclion /(^) n'admet, dans tout le plan, qu'un nombre fini de 
points singuliers, l'étoile comprend tout le plan sauf un nombre fini de demi-droites, 
(^uand f{^) est uniforme, mais n'existe que dans une aire limitée du plan, l'étoile 
fait sûrement partie de cette aire. Mais l'étoile peut être tout entière à distance 
finie sans que la fonction /(^) présente de lignes singulières. F*ar exemple, consi- 
dérons un ensemble parfait discontinu (E) de points situés sur l'axe O; entre i 
et •>, et soit ï] = g {\) une fonction continue croissante qui prend toutes les valeurs 
de o à 1 (limites comprises), quand ^ coïncide avec un point ai'bilraire de (E). Posons 

z = \( cos 2 -::ti + i si n 2 TT, ) ; 

à chaque point ^, de (E) correspond un point z^ du plan z; les points xj, forment 
un ensemble parfait ( E, ) qui, nulle part, n'est continu. D'autre part, il est facile 
de construire une fonction /(^), uniforme dans tout le plan, et dont l'ensemble 
des singularités coïncide avec l'ensemble (E, ). Cette fonction uniforme ne présente 
aucune /ig/ie singulière; néanmoins, l'étoile A (qui comprend à son intérieur le 
cercle de centre o et do rayon i) est comprise tout entière à l'intérieur du 
cercle de centre o et de rayon 2; car une droite quelconque issue de l'origine 
rencontre un point singulier dont la distance à l'origine est au moins égale à i 
et au plus égale à 2. 



SUR LE DKVKLOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Io3 

La sêi'ie \/\) converge et représente J\z) dans toute V étoile 
cV holomorp li ie A . 

Ainsi, pour dcduire d'une série génératrice (2) une série qui 
représente y(3) dans toute l'étoile A, il suffit, dans les termes de 
la série (2), de remplacer 

ai, . . . , a,/, 
par 

ai 5, ..., a,iz'', 

En particulier, si la série génératrice (2) est normale, on a 

(">) ?«(«o, «i>2, . . ., a,i^") = v^ao^ v,rti^ -f-. . .-T- v,,a„^", 

les V étant numériques. La série (4) est alors une série de poljnomes 
en 5, dont le [n -\- ly-^'^^ terme est une expression linéaire et homo- 
gène en «0, «1^, «2-^"? • • • ■) ^f^ii^'^^ à coefficients numériques; elle 
converge [quel que soit /(c)] dans toute l'étoile d'holomorphie. 
Un tel développement sera dit développement de M. Mittag- 
Leffler ou développement (M). 

3. Étoile d^holomorphie attachée à une fonction de plusieurs 
variables. — Considérons maintenant une fonction (ou branche 
de fonction) analytique,/*, de plusieurs variables, soit de trois va- 
riables :3 = ^ 4- iy^ u^= x^-\- iys , V = X2 -i- ijro? fonction (jui, [)ar 
hypothèse, est holomorphe pour ;: = o, u = o^ <; = o. Il nous est 
loisible de représenter le système de variables (u, v^ (v) par un 
point P de l'espace réel à 6 dimensions OxyXtyi x^y^' 

Remplaçons (dans/) z par zt^ u par ut^ v par vt^ et posons ( ' ) : 

Formons, pour cette fonction/, (^), la série génératrice (2); 
la série de Mac-Laurin qui représente/, [t) est 

/o + — . - • • • 



n\ 



f^^ f- ^ f'a^ f'u désignent les valeurs de/et de ses dérivées par- 



(') On reconnaît là le procédé employé dans la théorie des séries de Taylor 
pour passer du cas d'une variable au cas de n variables. 



'I04 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

lielles pour ^ = w = t^" = o, et {^zf^ + uf^ -f- vf'^)^n) est la puis- 
sance symbolique n'^"^^ de {zf'^-\- u/u-^^fj")- L'expression 

(6) ^-^^ ^^ ^^^L^^^p„(z,u,v) 

est donc une forme homogène de degré /i en z^ u^ (^, dont les 
coefficients (à des facteurs numériques près) sont les valeurs 
(pour z ::= u := i^ = o) des diverses dérivées partielles d'ordre ii 
de/. 

Pour former la série génératrice (2) c|ui représente y*i (^), il 
suffît, dans les termes On de cette série, de remplacer ao, a,, . . ., 
anj . • • j par pQ^ p^^ . . . , p^^ .... La série ainsi obtenue con- 
verge pour z =^ Zq, u =z uqj ç := ç>q et représente 

/i(0^^/(^o, ih, ^0), 

si la fonction y, (0 est holomorphe quand t croît, par valeurs 
réelles, de o jusqu'à i (limites comprises). Interprétons' cetle 
condition. 

Soit P le point de l'espace Oxy^iy^ x^yi défini par (:;o5 ^^o? ^0)'? 
quand t croît de o à i, le point {zQt, Uqû^ Vot) ou P' décrit le 
segment de droite OP (^). Pour que f\{t) soit holomorphe 
pour o^^£ I, il faut et il suffît que la fonction (ou branche de 
fonction) f{z^ u^ v') soit prolongeable régulièrement le long du 
segment de droite OP à partir du point O jusqu'au point P inclu- 
sivement. 

Représentons, ici encore, par A l'ensemble des points P de 
l'espace O xyxi^y^x-iyi pour lesquels cette condition est remplie. 
J^es points de l'espace exclus de A sont distribués sur les demi- 
droites ayant pour origine les points jji tels que la foncliony(^, w, c) 
soit prolongeable régulièrement le long de O a jusqu'au point a 



(') Celte terminologie doit être interprétée dans son sens analytique : elle 
signilic que les coordonnées {x^y^ x^^ y\iX^^y^)à\\ point P'(à savoir xU, yU, 
x1t,y°t, x!'^t,y?^t) vérifient les équations : 

j^ _ y _ ^ _ T, _ X, _ y., 

/7..II ,,ll .~(l -,0 ~.0 ^,u ' 

'*' J ^ l J \ •*' 2 .7 2 

Cl que, quand t varie de o à i, ^ varie de o à x", y de o à y", . . ., y. de o à y^. 



SLR Li: DKVELOPPEMKNT DKS FONCTIONS ANALYTIQUES. lo5 

exclusivement; ces demi-droites s'obliennenL en conlinuanl, au 
delà de chaque point jj., la direction Ojjl. 

Nous appellerons le domaine A V étoile dliolomorpJde, de 
centre O, attachée à la branche de fonction /(^, u^ v)] les 
points p. seront les sommets de l'étoile. 

La série 

converge et représente f{z^ u, v) dans toute l'étoile A. 

En particulier, si la série génératrice (2) est normcde^ on a 

(les coefficients v étant numériques). Les termes de la série (7) 
sont alors des polynômes en z^ w, v linéaires et homogènes f)ar 
rapport aux valeurs {pour z = u -^^ v = o) des dérivées succes- 
sives de la fonction f{z, u, v). La série converge, quelle que 
soit la fonction /*, dans toute l'étoile A attachée à / et j repré- 
sente la fonction. Un tel développement sera dit encore dévelop- 
pement de Mittag-Leffler ou développement (M). 

Remarque. — Chaque terme 'o,i de la série (7) est, dans ce 
dernier cas, linéaire et homogène par rapport à /?oî y^i? • • • •» Pu 
[formes homogènes en ^, ?^, v de degré o, i, . . . , /i et termes 
successifs de la série de Mac-Laurin qui définit y"(^, u^ v)\ 

Supposons que la ronctiony(^, u^v) vérifie une équation aux 
dérivées partielles d'ordre A', linéaire et homogène par rapport 
aux dérivées d'ordre k et à coefficients constants ('). Chaque 
polynôme pn vérifie cette même équation, par suite cp^. La fonc- 
tion y'(^, u, v) est alors développée, dans toute l'étoile, en une 
série de poljnomes dont chacun vérifie l'équation aux dérivées 
partielles. 

4. Application au domaine réel. — Ne donnons à z, u^ v 
que des valeurs réelles x^ x^^ x^. Le système de valeurs (^, x^^ x^) 
définit alors un point de l'espace réel{h trois dimensions) Oxx^ x-^. 



(') La remarque subsiste si les coefficients sont des polynômes honioi;ènes et 
de même degré en z, u, v. 



i06 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

Les points réels de l'étoile A épuisent tout cet espace Oxx^x^-, 
exception faite dea points situés sur les demi-droites issues des 
points réels singuliers a de f[x, Xi, Xo) et qui prolongent Oa 
au delà du point a. D'une façon précise, les points |jl (sommets 
de l'étoile réelle) seront les points réels tels que f{x^ x^, X2) soit 
prolongeable régulièrement le long du segment réel Ou jusqu'au 
point ui exclusivement. 

Par exemple, supposons que f{x, x^, X2) soit une fonction 
harmonique de x^ x,^ , x^i n'admettant dans l'espace réel O x x<^ x^-, 
comme singularités, que des pôles isolés; un développement (M) 
dey"(:r, .r^, X2) représentera /dans tout l'espace réel sauf sur les 
demi-droites issues des pôles et menées en sens inverse de l'origine ; 
les termes du développement seront des polynômes harmoniques. 

Mais les considérations précédentes supposent qu'on connaisse 
une série génératrice, et notamment une série génératrice nor- 
male. Toute la difficulté est maintenant de former une telle série. 

o. Formation théoricjue d' une série génératrice normale. — 
Traçons, dans le plan complexe des ^, le segment de l'axe réel 
compris entre les points ^ = et ^ = 1, et une courbe fermée C 
renfermant ce segment à son intérieur. Effectuons la représenta- 
lion conforme de l'aire de G sur un cercle F du plan des t ayant 
l'origine pour centre : parmi toutes ces représentations il en 



Fi! 




existe une (et une seule) telle que le point / = o corresponde au 
point T = o, et le point / == i au point t = i . Le cercle F, dans 
ces conditions, a un certain ravon bien déterminé "> i . Soit 
/ = •!>(':) etT=:y(^) la correspondance conforme ainsi choisie. 
Considérons maintenant une fonction analvlique f{t), liolo- 
morphc dans l'aire C (contour compris) et dont le module, par 
suite, reste inférieur dans G à une quantité fixe IL Si nous rem- 



SUR LE DÉVELOPPEMENT DES F()\<;TIO.\S ANALYTIQUES. lo; 

plaçons t par ']>(':), la fonction /[ '!/(t )] ^ F(t) est holomorphe 
dans le cercle F et son module n'y dépasse pas H. Elle est donc 
développable, dans F, en série de Alac-Laurin, 

( 9 ) F ( T ) = A -+- A 1 T ~ A 2 T 2 H- . . . 4- A ;, T « -T- . . . ; 

en particulier, pourT= i, cette série converge et représente F( i), 
c'est-à-dire y(i) (puisque t = i pour t = i). On a donc 

(lo) /(i) = Ao-^ A,-t- A,-!-. . .-r- A„-^. . ., 

et le reste de cette série R,i= ^n+i -h A,/^o + . - . est ('d'après une 
formule classique) inférieur à — -, 

De plus, les coefficients Aq, Ai , . . . , A,i . . . , sont linéaires et 

homogènes par rapport à ^o, «o, . . ., an, • • • [coefficients de la 
série de Mac-Laurin (i) qui définity(/) pour t voisin de zéro]. En 
effet, la fonction t = 'y'('^) peut se développer ainsi : 

(il) ^ = Xjx -T- X2'::--r-. . .-+- X/i'^" -f-. . . , (Xi, A-,, .... numériques); 
or, dans la série (i) 

remplaçons la variable t par le développement (i i) et ordonnons 
suivant les puissances de t; la nouvelle série ainsi obtenue 

«0-^- ^i «i~ -r( X2«i -T- Xf «2)'^^H~. • . 

I 

doit coïncider avec la série (9), d'où les égalités 

Aq = tto , A 1 = A 1 et 1 , A 2 — - A 2 ^ 1 + X j cio , .'.'■, 

d'une manière générale, A^ est une combinaison linéaire et homo- 
gène de rt, , <'«2 7 ' • '1 ^'f'H- 

6. Ceci posé, donnons-nous une fois pour toutes (dans le plan 
des t) une suite de courbes fermées G|, Co, • • . , C/, . . ., c/itou- 
/ant le segment de l'axe réel o — \ et tendant à se réduire à 
ce segment quand V entier j croit indéfiniment. On peut répéter 
sur la représentation conforme de chaque aire Q^j ce que nous 
venons de dire au sujet de l'aire G; à chaque valeur de Fentiery 
correspond ainsi un nombre py > i (rayon du cercle Fy) ; remar- 



I08 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

quons immédiatement qu'on peut, pour chaque valeur dey, trouver 

un entier n assez ffrand pour que la quantité —r, soit infé- 

rieure à -r:, : soit ii = N/ la plus petite valeur de n qui satisfait à 

cette inégalité (' ). 

Considérons maintenant une fonction quelconque y(^) holo- 
morphe pour o^^£i. Cette fonction est, par suite, holomorphe 
(et de module moindre qu'une certaine quantité H) dans une 
aire C (suffisamment aplatie) entourant le segment réel o — i. 
Formons, pour celte fonctiony*, le développement analogue à (lo) 
qui correspond à chaque courbe Cy. 

Dès que j dépasse un certain entier /c, la courbe Cy est inté- 
rieure à l'aire C. Le développement correspondant converge donc 
versy([) : arrêtons-le après le (n -\- i)"^'"^^ terme, il représente f{i) 

avec une erreur moindre en module que — — -y c'est-à-dire 

^ P"(?y— 
M . 
moindre que — (si l'on prend n = Ny). Désignons par rnj le déve- 
loppement ainsi limité, c'est-à-dire la somme des n = ÎSy premiers 
termes du développement (lo), qui correspond à Cy; cette somme 
zjj est de la forme 

(l'i) mj = «0 + [M ,y «1 + iM,j «2 — • • • -^ [J-nj (hi 

(les coefficients numériques jjl dépendant dey, ainsi que l'entier 
n = Ny). Enfin convenons de prendre 7^0=: cfo. 
Posons maintenant : 

(i'.\) Oo=rryo=ao, ^i = ^i — ^o, •••i ?y = ^y — ^y-i > 

je dis que la série 

(i4) S = Oo-+- "^ï-^- -'-h^j-^-- .= ci^)-h\{vij ai-h. ..-h 'hijaa) 

est une série génératrice normale. 

i" Elle converge (et converge même absolument) vers f{\) 



C) Il serait loisil>le de remplacer, dans le raisonnement, — par n'importe 

<iuelle ([iiaMliié positive m^., sous la seule condition que la série \^ m soit con- 
vergente. 



SLIl LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQLES. lOO 

quel que soit/(^), pourvu que f(^l) soit holomorpJir pouj' o^t^ i . 
En effet, la somme des (y + i) premiers termes de S n'est aiitie 
chose que ray, et, du moment que f{t) satisfait à la restriction 

énoncée, |/(i) — ray| est <! — > quand / dépasse une certaine 

limite k. La série S converge donc vers ,/(i) et elle converge 

absolument ; car |cpy| est <; -^> dès que y >> fc. 

2*^ Chaque terme Oj de S est linéaire et homogène par rapport 
à r/o, «I , . . ' -, an. Il est vrai que l'entier n = Ny peut dépasser j. 
Mais, en introduisant, entre des termes consécutifs de S, un 
nombre suffisant de termes nuls (ou se détruisant deux à deux), 
on peut toujours faire en sorte que le (n -r- i)'^'"^ terme de la série 
ne dépende que de «07 (^f^^ • • • 7 (^^n (pour n arbitraire). 

La série S est donc une série génératrice normale. 

7. Remarque. — Cette série S est bien déterminée par les 
conventions adoptées, une fois choisie la suite de courbes Cy. 
Mais on peut se donner arbitrairement cette suite de courbes 
fermées C) , . . .Cy, . . . , sous la seule restriction qu'elles entourent 
le segment réel o — i et tendent à se réduire à ce segment quand j 
croît indéfiniment. Il convient évidemment de choisir ces courbes 
de façon à simplifier autant que possible les termes de la série S, 
c'est-à-dire le développement (10) attaché à chaque courbe Cy. 

Remarquons de plus que le raisonnement du n" 5 suppose 
seulement que la fonction ^=:(];(t) soit holomorphe dans le 
cercle F, s'annule avec t, soit égale à i pour 7= i, et que t varie 
à l'intérieur de C (ou sur C) quand t varie dans le cercle F. H 
n'est nullement indispensable qu'inversement la fonction t = y (^) 
soit uniforme et holomorphe dans C. Il sera donc loisible d'attacher 
à chaque courbe Cy une fonction ^ = (J;y(T) répondant seulement 
aux conditions suivantes : 

La fonction ^ = ^j>y(':) est holomorphe dans un cercle Fy de 
centre 1 =z o el de rayon ^ i ; quand t varie dans Fy, t ne sort 
pas de Faire Cy; enfin d'y(o) = o, et '^^(i) = i . 

8. Convergence des séries définies par la série généra- 
trice (i4)- — Soit A' une aire limitée, entièrement comprise dans 
l'étoile iV attachée à f{^)', la série (M) définie par la série gêné- 



IlO NOTE DE M. PAIXLEVE. 

ralrice (i4)> à savoir 






absolument convergente dans A, converge uniformément 
dans xV. 

En effet, considérons une aire limitée A'^ entièrement intérieure 
à A et renfermant A' à son intérieur. Dans cette aire A", !/(^)| 
reste inférieur à une limite fixe H. 

D'autre paît, la valeur ;îo= ''o (cosBq + « sinBo) étant donnée, 
posons i; = ^0^? et représentons sur le même plan (rapporté aux 
mêmes axes) les deux variables complexes z et t. Quand t varie 
dans une certaine aire (ou sur une certaine courbe) C, z varie 
dans une aire (ou sur une courbe) semblable^ soit C"o : pour 
obtenir G^o, on prend l'homothétique de G par rapport à O, 
/"o étant le rapport d'iiomothétie, et l'on fait tourner cette trans- 
formée de l'angle Bq autour de O. Prenons notamment, comme 
aire G, une aire Gy ; l'aire G*]" renferme à son intérieur le segment 
o — ^0 et se réduit à ce segment si Gy se réduit au segment réel 
o — I. Lorsque ^o varie dans toule l'aire A', l'aire Gj balaie un 
domaine By. Si l'aire Gy était réduite au segment réel o — i , le 
domaine By se réduirait à A'; quand y croît indéfiniment, l'aire By 
tend donc vers l'aire A', et, par suite, reste intérieure à l'aire K' 
dès que y dépasse une certaine limite k. Pour y" >> A-, la fonc- 
tion y'i (^) =^f(^ZQt) a donc son module inférieur à H dans l'aire Gy, 
quelle que soit la position du point^o dans l'aire A'. Le reste Ry(^) 
de la série (i5), quand z varie dans A', est par conséquent moindre 

(en module) que —^ dès quey;>A-. Autrement dit, la série (i5) 

converge uniformément dans l'aire A'. c. q. f. d. 

Il est évident que le raisonnement s'étend de lui-même aux fonc- 
tions de plusieurs variables, d'où ce théorème : 

Les séries (M) déduites de la série génératrice ( 1 4 ) convergent 
absolument dans toute V étoile A attachée à /', et uniformé- 
ment dans tout domaine A! entièrement intérieur à A; cela, 
quel que soit le nombre des variables dont dépend f. 



SLH LK DKVKLOri'KMKNT DKS FONCTIONS ANALYTIQUES. III 

En verlii d'un llicorômc classique, ces séries sont, par suite, 
inlégrables et dérivables ('j terme à terme, indéfiniment, dans 
toute l'étoile A; on j)eut répéter sur la convergence des séries 
intégrées et dérivées ce qu'on vient de dire sur la convergence 
des séries (M) elles-mêmes. 

Il résulte de là que le développement d'une foncliony(-3) suivant 
une telle série (M) est unique. Précisons ce qu'il fautentendre parla. 

D'une manière générale, considérons une série (M), soit 

qui converge uniformément dans toute aire limitée intérieure à 
l'étoile A [cela, quelle que soit la fonction /(^) définie, dans le 
voisinage de l'origine, par la série entière «oH- a^z -]-. . .\ 
Remarquons d'abord que les séries numériques 

^0,0 -i~ ^'0,1 "+" '^0,2 -+"• • •! '^1,1 ~^ ^^1,2 "T~ ^^1,3 ~^- • • > 

^^2,2 ~^~ ^>2,3 + '^2,4 ~T- • • • 1 ••• 

convergent toutes vers V unité. En effet, faisons ^ = o dans l'éga- 
lité y(^) = 2^ ^^/^(^) ^^ ^^^ égalités dérivées; il vient 

Ceci posé, donnons, dans la série (M), aux constantes «0 1 <^^i • • • 
des valeurs quelconques et admettons que la série converge uni- 

(') Soit (M') la série obtenue eu dérivaut terme à terme uue série (M) qui 
représente f{z), et soit ( M^ ) la série qu'on obtiendrait en appliquant directement 
à f'iz) le développement (M); en général, les deux séries (M') et (M') sont 
(liderentes. Pour qu'elles coïncident quel que soit f{z), il faut : i° que le 
(/i + i)'"'"" terme P,.(-) de la série (M) soit un polynôme de degré /?, 



2° qu'on ait 



n^n n 



Ces conditions de récurrence permettent de se donner arbitrairement les seuls 
coefficients );„ „, \ ,, ..•,\^„, ..., dont la somme doit être égale à i. Ces coeffi- 
cients une fois choisis, les autres X sont déterminés. Peut-on choisir ces coeffi- 
cients, de façon que la série / P„(-) soit une série ( M )? Tel est le problème, non 

résolu à ma connaissance, auquel revient la question de savoir s'il existe des 
séries (M) telles que les deux séries (M') et (M^) coïncident quel que soit/(c;. 



112 XOTE DE M. PAINLEVE. 

formément dans une aire comprenant l'origine : sa somme est 
alors une certaine fonction F(^) holomorplie dans cette aire; 
soit F(;:) =1 b ç^ -{- b ^ z -\- b-2 z- ^ . . . le développement de F(-^) en 
série de Mac-Laiirin. La proposition que je veux établir, c'est 
que «n, «1, ^21 • • • coïncident respectwement avec b^^ bt, b^- . . . 
et que la série considérée n'est autre, par suite, que la série nor- 
male (M) attachée à F(^) et convergente dans l'étoile A. Or, c'est 

ce qui résulte aussitôt de l'égalité F(::) = ^T^ft(^) et des égalités 
dérivées, où l'on fait 3 = 0; il vient, en elFet, 

^0 = t)o( Ao,o -r- Ao,i H- Ao,2"^ . . . ) = «Q, 
b\ = «l(Àl,l-^ ^>l,2~ Àl,3 — • • • ) = «1, 



En particulier, une telle série (M) ne peut converger unifor- 
mément vers zéro dans une aire renfermant l'origine sans que 
toutes les constantes «o? ^^\) «^^25 • • • soient nulles. 

Ces remarques ont évidemment leurs analogues dans le cas de 
plusieurs variables. 

9. Des séries intermédiaires . — Appliquons à la fonction 

/i(0=/(-0 
le développement (10) qui correspond à l'aire C du plan des t 
(n" 5); la série ainsi obtenue n'est autre que le développement de 
Mac-Laurin de F,(t) =/[G'i>(T)], où l'on fait 7 = 1, et elle peut 
s'écrire 

(16) a^-\- V (/vi,«ai-3-+-/:2,„«2-- + - . •-+-/wj,««rt-'0, (les A" const. numériques). 

Celte série converge (pour z donné), et converge absolument, si 
la fonction F<(':) est holomorplie dans le cercle y de centre t = o 
et de rayon i (circonférence comprise); elle diverge, si F, (t) n'est 
pas holomorphe à l'intérieur de y; il j a doute, si F, (t) est holo- 
morplie dans Y mais non sur la circonférence. 

Soit c l'aire <\\\ plan des t que la représentation ^=]'i>(T) fait 
correspondre au cercle v; celle aire c (intérieure à C) renferme à 
son intérieur le point / = o, et son contour passe par le point 
/ 1= I . Le domaine de convergence, soit D, de la série (16) est dès 
lors facile à définir : considérons pour chaque point Zq l'aire c^» 



SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Il j 

dcduite de c (n'* 8), aire (jui renferme V origine. Si, dans celle 
aire c~<^ {contour compris)^ la branchey(-s), prolongée analjtique- 
ment à parlir de l'origine, est holomorphe, la série (i6) converge 
(et converge ab sol unie ni) pour ^ = js^ ; si, à V intérieur de c^o, 
f{z) présente au moins un point singulier, la série (i6) diverge 
pour^ = -So; si /(-g) est liolomor[)he dans l'aire c^» {contour 
exclus)^ il y ^ doute. 

Le domaine D tend vers l'étoile A quand c tend à se réduire au 
segment réel o — i , car l'aire c^o tend alors à se réduire au segment 
de droite o — ^o- 

Dans tous les cas, les points-frontières de D sont des points z^ 



Fie. 3. 



^^^ 



tels quey(^) soit holomorphe dans l'aire c"', mais présente sur le 
contour de c"' au moins un point singulier, soit ^ = Ç. Marquons 
dans le plan tous les points singuliers Ç ainsi obtenus (') : si g, 
est un point frontière de D, il existe au moins un point Ç tel qu'on 
ail X^-=. z^t pour une valeur de t appartenant au contour c. Le 

Y 

point Ç étant donné, quelle courbe décrit le point ^, = - quand / 

parcourt le contour c? C'est le contour c'^, si d désigne {fig- 3) 
le contour obtenu en effectuant, sur le symétrique de c par rai)- 
port à l'axe réel, une inversion de pôle O et de puissance i . 



(' ) Si la courbe c est convexe, les points C ne sont autres que les sommets ilc 
rétoile A. Mais quand c n'est pas convexe et quand de plus f{z) n'est pas uni- 
forme, certains des points C peuvent être distincts des sommets [x de A. 

E. B. S 



Il4 NOTE DE M. PAINLEVE. 

Supposons tracées dans le plan toutes les courbes c's le con- 
tour limite de D est formé entièrement d'arcs de courbes c'^, par 
conséquent, d'arcs semblables à c' ou à des fragments de c' . 

Par exemple, si f{z) n'admet dans tout le plan qu'un point 
siniiulier z-= i, le domaine D est le domaine situé du même côté 
de c' que Torigine. Si l'aire c était réduite au segment réel o -^ i , la 
courbe c' se réduirait au segment réel i --^ -f- oc. Si l'aire cest une 
aire très aplatie (renfermant le segment réel o -^ i), la courbe c' se 
compose d'une partie très voisine de la demi-droite réelle j ^— - -r ce, 
et d'une partie très éloignée de Torigine {fig. 3). 

Le raisonnement du numéro précédent permet de démontrer 
que la série (16), qui converge absolument dans le domaine D, 
converge uniformément dans tout domaine D' entièrement inté- 
rieur à D. 

Ces considérations s'étendent d'elles-mêmes aux fonctions de 
plusieurs variables. 

10. Formation explicite d^ une série génératrice normale. — 
Nous allons former, d'après la méthode précédente, un exemple 
explicite de série génératrice normale. On sait que la fonction 
t = logT représente ( ' ) le demi-plan des t (situé à droite de l'axe 
imaginaire) sur une bande du plan des t comprise entre deux 
parallèles à l'axe réel, tracées au-dessus et au-dessous de cet axe 

à la distance—* La fonction ^ = alogT (a constante réelle posi- 
tive ou négative, voisine de zéro) représente le même demi-plan 
sur une bande B du plan des ^, de largeur |a|T, qui admet 
encore l'axe réel comme diamètre. Enfin, remplaçons, sous le 
signe log, la variable t par (|3t + /^), ^ et 6 désignant des con- 
stantes réelles : le demi-plan II des t d'abscisses plus grandes 

que — ij (si p>>o), ou d'abscisses plus petites que — ^ (si jj<;o), 

est représenté sur la bande B du plan des /. On peut disposer 
des constantes [j, b^ de façon que le cercle |t| 5 i ou y fasse partie 
(lu demi-plan II, et qu'aux points t = o et t = 1 correspondent 
respectivement les points t =^ o et /= i. H faut et il suffit pour 

(') II s'agit, bien enlcudu, de la branche du logarithme (bien déterminée dans 
le detni-plan considéré) qui s'annule pour t =: i. 



SUR LE I)i:vi:l()I'Im:mi;m dks F().\f;rio.\s axai.ytiquks. 
cela qu'on ait 



ii> 



aiogd -^P;= I, |3|< i; 



on lire de là [i i= e'^ — i, et |jj| n'est << i pour a voisin de zéro 
([lie si a est négatif. En définitive, j'introduis la représentation 
suivante (où je mets en évidence le signe des constantes) 



avec 



? = I - e '■■^ 



(17) ^==-aIog(i-3T), 

(a constante positive). 

La branche considérée du logarithme (celle qui s'annule 
pour T^o) est bien déterminée et holomorphe dans le demi- 
plan n, et en particulier dans le cercle v. 

Quel est le domaine c du plan des t qui correspond au cercle*'? 

Tout d'abord, ce domaine, svmétrique par rapport à l'axe réel, 
est très aplati sur cet axe, puisqu'il fait partie d'une bande de 
largeur oliz qui admet cet axe pour diamètre. Cherchons, d'autre 
part, ses abscisses maxima et minima : il suffit de chercher le 
maximum et le minimum de la partie réelle de 

— alog(i- pT) = -:,|log^-i-log(^ --H , 

c'est-à-dire le maximum et le minimum du module de l- — t) 
quand t varie dans y; si l'on marque {fig. 4)> dans le plan des t. 



n 



Fig. 4. 




les points M et Q d'affixes t et ^ 



'^ 



est égal à QM; le maxi- 



mum el le minimum de QM ont lieu |)our t = — i et t = i ; lab- 
scisse maxima cherchée est donc — a log(i — ^3) z= i et l'abscisse 



Il6 NOTE DE M. PAINLEVK. 

minima est — alog(i + |j)= — alog\2 — e "j, qui tend vers 
zéro avec a. Le domaine tend donc à se réduire au segment 
réel o ---^ I quand a tend vers zéro. 

Au lieu du cercle y, considérons un cercle concentrique F un 

peu plus grand, compris encore dans le demi-plan II. Le ravon p 

1 
— 1 

I e a 

de r est compris entre i et 77 = i H ^; posons = 14- j.e ^, 

I — e"â 
et donnons à À une valeur comprise entre o et i . Le domaine C, du 
plan des t^ qui correspond à Y sera encore intérieur à la bande B; 
ses abscisses maxima et minima correspondront à t = ± p et seront 
égales à — alog(i zp ^Sp). 

La quantité log(i -t- po) est inférieure à log2 (puisque p < - j; 

l'abscisse minima est donc supérieure à — a loga. D'autre part, 
on a : 

log(i — (3p) = log(i - .3— ^> e~«) = log [e~^(i — fA)\ ^ — -^ log(i — |BÀ); 

l'abscisse maxima — a log(i — [jp) est donc égale à 

1 — aIog(i— pX), 

c'est-à-dire inférieure à i — a log(i — A), puisque o <^ [îi << 1 . Si, 
(co7)ime nous le ferons par la suite), on p/end ").=: -> Taiie C 

est comprise entre les deux abscisses — a log 2 et i -h a log 2 (donc 
entre les deux abscisses — a et i -j- a) et entre les deux ordon- 
nées d= a -; cette aire C tend donc à se réduire au seement réel 
O ^^' I quand a tend vers zéro. 

11. Appliquons maintenant la méthode du n° 5 à la fonc- 
tiony(^), liolomorphe (et de module moindre que H) dans l'aire C; 
cette i'onction est définie par la série de Mac-Laurin : 

(I) f{t) = ao-ha,f-^a,r--^...^f{o)-h^^^(-r-^^-^ 

Si nous remplaçons t par — alog(i — p-z)^ la fonction F(t) ainsi 
obtenue est représentable, dans le cercle F, par la série de Mac- 



SLFl LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. II7 

La 11 ri 11 

et l'on a 

/( I ) = F( 1 ) = Ao -4- A, -4- Ao -+- , . . ; 

de plus, on sait que 

|Ao-^A,^...+ A,-/(i)| 
est moindre que 

TT V ÎI e^ 



( I + - e '^1 X — — \ •>. / 

Calculons explicitement les A„ à Taide de «o, «i , «2, .... Ceci 
revient à ordonner, suivant les puissances croissantes de t, le 
second membre de l'expression 

F(t) = rto— «ialog(i— 3-)-+-...-+-(— i)^--rt'.a/'[log(i— 3-) l^-^ -+-.... 
Nous pouvons poser 

les E^'^^ étant des coefficients numériques que nous calculerons 
tout à l'heure. Le développement de F(t) suivant les puissances 
croissantes de t s'écrit alors 



(18) ^ 

On a donc 



F (t) = «0 + «'i a?'^ -^. • .-4- '^"-•" X [a« a„ -^ a"-' a„_i E;[-» -f- . . . 



A„ = [■'j" (a" Un + a"- 1 a,,_i E'/,-» + . . . + a/«/ E(, -h . . . + aaj E,', ) 



ni 



[oi'\f^»Uo) -^ a«-iv^ ;[-»/("- 1^(0) 



'^'C'nf'' {o)-^-..-i-:cChf'io)l 



les C désignant d'autres coefficients numériques [qui se déduisent 
des E par la formule C"~-^ = n(n — i). . .(/? — J -h i)EJJ~^]. 

En particulier, si, pour un instant, on prend comme fonc- 
tion f{t) la fonction , le développement (18) s'applique 



Il8 XOTE DE M. PAINLEVÉ, 

(pour l^l suffisamment petit), et l'on peut écrire 



= I -+- a-: -h . 



1 -r- a loi;( I — -; 

n . 

(, . '^ ,1 j. , ... i ,^ X j -r- . . . 



D'autre part, le coefficient de -^, dans cette dernière égalité, 

n'est autre chose que D" ( -. )> en représentant 

1 "-" \ I -h a log( I — -:;/ ^ 

par D"^(,cp(t) la dérivée /i'*""^, par rapport à t, de '■:^(t), où Ton 
fait T = G. 

Il est dès ]ors facile d'établir entre les C^~-' une relation de ré- 
currence qui va nous permettre de représenter très simplement 
les A„. 

On a, en effet, en posant 



(20) D^'(^ 



G(-:) = I -h a log(i 


-^), 


• \ __ 


l = n 


i-l- alo<;(i— 7)7 u- 



les X désignant des coefficients numériques; pour le voir, il suffit 
d'admettre que cette égalité (qui est vraie pour n = i) est vraie 
pour n et de démontrer qu'elle est vraie pour n -\- i . D'autre part, 
pour T = o, on a 



l=n 



^ l'/ y-i = n ! a'' + (n — i) ! Cr ' a''-^ ^. . . -^ / ! C^, a/ + . . . -h C), a 
i — \ 

quel que soit a. D'où l'égalité 

('■^^0 ^'H r^ -)= — '■ — y^-^'nT^. (avec v::;î = ,). 

l — \ 
Si l'on dérive membre à membre, il vient (en faisant ensuite 

T := o) 

l = n t = n 

/— 1 /=1 



SLii LE di:m:loi'I'i:.mi:\t des fonctions analytiques. 



"9 



mais le premier membre coïncide (par clé(iniLiori) avec l'expres- 
sioii 2, '^•^fin^'î d'où, en identifiant les coefficients des puis- 



/:=1 



sances de a, la relation de récurrence 






(i < /< n -T-ij, 



avec C" 



I, Cl=n\. 



Il — * > ^« 



Cette relation s'interprète bien simplement, si l'on introduit le 
poljTiome 

( 22 ) Ka{u) = ii{u -\- \){u ~ -1 ) . . . {il -^ ri — I ) . 

Je dis qu'on peut l'écrire 



Chu. 



La chose est évidente pour /i r= i ; admettons qu'elle soit vraie 
pour /i, et démontrons-la pour n-{- i; il suffit d'écrire 



. .-!- u.n\ 

G. Q. F. n. 



ii'inCi.^Ci:-') 



En définitive, A„ peut recevoir l'expression suivante 



^n= ^ [aV*"'(o)-f-a"-i^;rV^-'Ko) 



/i 



-^^^^;./^(o)+...-+-aCA/'(o)], 



OÙ C\^ est un entier positif, à savoir le coefficient de u^ dans le 
polynôme K,i(?/). Sous forme symbolique, on peut écrire encore 

3"- 3" 

(23) A,,== '— K,,(a/,)E^ Il^a/;(i-+-a/;)(2+a/;)...(/i-i-+-a/;), 
à condition de remplacer (dans le produit effectué)/"'/ par/*^'' (o). 



12. Ceci posé, donnons à a une suite de valeurs tendant vers 

zéro : soit a = \~^' j désignant un entier positif qui croîtra indé- 
©y 

finiment. La valeur correspondante de ^ est i — • Pour chaque 

V y 

valeur de l'entier y", les domaines Cj et Cy, qui correspondent aux 



120 NOTE DE M. PAINLEVE. 

cercles v et F ( de rayons i etiH — e ^=iH =1, sont bien 

déterminés et tendent vers le segment réel o — i quand j croît 
indéfiniment; dès qne y dépasse une certaine limite A', la fonc- 
tion f{^i) est holomorphe dans Cy et son module y reste inférieur 
à une certaine quantité H. Dès que j dépasse A", la somme 

Ao4- A, -h . . . H- k.,1 qui correspond à chaque valeur dey, diffère 

donc de/'(i) d'une quantité moindre en module que ■ — 



Cette quantité, si V on prend n =^ j\ peut s'écrire — ^ 



H'x^ 



........ „,.„...„....-M„:i„.,„ 



\7 



M 
suite que -t-- 
^ J- 




Posons donc 




^o = /(o), 


^« = /(o)+>^-^K 


avec 




a = 


^ B-i * 





La série 

S = 90 -H 'fl + ?2 H- • • • -H 9/i + • • • 

est une série génératrice normale. 

Toutes les propriétés énoncées dans le n° 8 s'appliquent en 
particulier à cette série S. Si on représente par TSn{^) le polynôme 

- S (1 / 11/—— \ \—'' 

(') La quantité (i 4-/i)/'= e^ = e^'V ^ '/cst>e - (pour o</i < i), 

- T II J i 2 M l / 

donc > e-. L'expression • — : est donc moindre que ~ pour /- i. 



SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 121 

(3n z obtenu en remplaçant a par v.z dans m^, et par 1^«(^) le po- 
lynôme tu ^^(^î) — ^/i_i(^), li> série 

(M,) /(o)+I',(^)^...-f-P„(z)-i-... 

est un développement (M) qui converge absolument vers f{z) 
dans toute l'étoile, et uniformément dans toute aire intérieure à 
l'étoile ('). 

Insistons sur la rapidité de la convergence. Soit 

i; = p ( ces co H- t si n oj ) 

OU P, un point du plan complexe {fig- 5). Enfermons le seg- 
ment OP dans un rectangle A qui admet OP comme diamètre, et 



Fie:. T. 




dont les côtés perpendiculaires à OP ont comme longueur -ap et 
sont distants respectivement de O et de P de la longueur v.z 

(a désignant toujours ^ )• Si, dans le rectangle \j/(z) est holo- 

morphe et garde un module inférieur à H, on a 



(24) |Po+P,-4-...4-P.-/(-)| 



Hy/TT 



•2 y n 



< 



■.i H ^/7i 



(') Les coefficients des a,^z^ dans chaque polynôme ^„{z) sont rationnels 
en \Jii et log/i. Mais on voit aisément que si n remplace \/n et log/i par des 

valeurs rationnelles approchées — et -^, ct„(-) convergera encore vers /(-), 

q q 

dans l'étoile A, pour n — ce, pourvu que les différences [\Jn j et (log/i A 

tendent vers zéro avec - suivant une loi suffisamment rapide (indépendante de 
11 

la fonction /). On peut donc déduire de la série (M,) une série jouissant des 

mêmes propriétés, mais où les coefficients des a^z^, dans chaque polynôme P„, 

sont des nombres rationnels . 



122 NOTE DE M. PAINLEVE. 

Soit B un domaine limité du plan des ^, entièrement intérieur 
à l'étoile A, et B' un domaine limité, intérieur lui aussi à l'étoile, 
et comprenant B à son intérieur. Soit, d'autre part, B/^ le domaine 
balayé par le rectangle A quand ^ varie dans toute l'aire B; lorsque 
n croît indé(iniment, B/^ tend \ers B, et lorsque n dépasse une 
certaine limite A", B,, reste intérieur à B'. Si H désigne le module 
maximum de fi^z^ dans B', l'inégalité (24) a lieu dans toute 
l'aire B dès que n dépasse k. 

13. Remarques sur le développement précédent . — 11 est loi- 
sible, dans le raisonnement précédent, au lieu de prendre n =y, 
de prendre pour n une valeur plus grande que j . 

Soit, par exemple, n ■=.]-. Ceci revient à poser 

no=/(o), ny(^)=./(o)-+-2||K/(az/;), 



avec 



•1 ,, _ i 



-. > jj — 1 — — — 1 



logy -x s/'j 

et 

Qo=no-/(o), Q, = ni(^)-no, Qy(^) = n/,^» - n,_.(^). 
La série 

(m) /(o;H-QKz)4-Q2(^)+...+ Qy(^)-T-... 

est une série (M), plus rapidement convergente que la série (M<) 
mais à termes plus compliqués. Dans l'aire B, pour la nouvelle 
série, on aura, en place de l'inégalité (^4), l'inégalité 

(^^) |Qo+Ql-r-...4-Q«-/(^)|< ^--^< T-- 



'^sJ'K 



On ])out modifier légèrement cette série (/??) de façon que 
le (/i -4- 1 y*^'"* terme ((|ui est de degré /i-) renferme z'^ en facteur. 
Considérons, en cfïct, la fonction 

Puisque la fonction y( 2:) est liolomorplie pour 2 = 0, les coeffi- 
cients aj (poury'^ 1) sont moindres en module cpie ( -j j p dési- 



SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIOLES. 1/ i 

^nant une (luantilé convenablcineiiL choisie; soient /•, l«; module 



aximum de :: dans Taire B', ('L II l(.' rapport -^ (ou l'unité, si ce 



b 
m. 

rapport est < i ). La somme rt, 3 -f- . . . -h «a^^ est moindre en 
module dans B' que AB^; le module de/A(^), dans B', reste donc 
inférieur à H H- A R^. 

Appliquons maintenant le développement (/n) à la fonc- 
tion //f(^). Il suffit, dans chaque poljnome ny(5), de faire 

a, = «2 = . . . =r Cl]; = G. 

En particulier, pour j^k^ le poljnome ^k{z) ainsi obtenu, 
poljnome qui renferme en facteur ^*+', vérifie, dans l'aire 1^ 
1 inégalité 

('^-C) \f,,{z)-^v,Az)\< -. ; 

'iL 
e'* 

lorsque A" dépasse H, le second nombre est moindre que 

quantité plus petite que -p^ dès que k est suffisamment grand. 
Posons alors 

qo=ao, qi{z) = a^z^Wi{z), q^(z) = a,z^-^W^iz) -W^iz), ..., 

q/Az) = auz''^ -^ ^F/, ( z ) — T/,_, (z), 
La série 

(mi) «0+ <7i (-5) -4-. ..+ <7« (-)-+-•• . 

est une série (M), qui converge absolument vers/(;î) dans toute 
l'étoile, et uniformément dans toute aire B intérieure à l'étoile. 
El) effet, la somme a^ + ry, (^) 4- . . + ^a(^) est égale à 

ao-i-aiz -h. . .^ «A-^'-+- ^t'A-C-), 
et par suite, d'après l'inégalité (26), diffère de/(^), dans B, d'une 
quantité moindre que -^, dès que A' est suffisamment grand. 

Dans la série (/n,), chaque poljnome q,i est de degré n^ et ren- 



124 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

ferme en facteur z^ -^ on peut écrire 

Chaque dérivée f^"^ (^o) = nlcfn ne figure donc plus au delà 
du (/i -h i )'''"'^ terme. 

La série (M|), dont nous avons déduit les séries (;?z) et {f7ii)^ 
est une des plus simples parmi les séries (M) connues. Elle a été 
formée, pour la première fois, par M. Fredholm. Mais il est évi- 
dent que la méthode des n°^ o et 6 permet d'en former une infinité 
d'autres. Le mode de transformation que nous allons indiquer 
fournit d'ailleurs le moven, une série génératrice normale étant 
connue, d'en déduire aisément de nouvelles ('). 

14. T ransf or mations cV une série génératrice. — La fonc- 
tion y(^) étant holomorphe [)Our o^^^ i, remplaçons-v t par une 
fonction g{^\ choisie une fois pour toutes, qui répond aux 
conditions suivantes : ^(0) est holomorphe et comprise entre o 
et I pour 0^8^ i; de plus «•(o)=:o et o(i)= i. La fonc- 
tion /i (8) =y[^'(B)] est, elle aussi, holomorphe pour o^O^i. 
Supposons donnée une série génératrice : soit la série S du n" 12. 
Si l'on applique ce développement à la fonction y, (Q), la série 
obtenue converge et représente y*i ( i )=/'( i ). Or la série /*| (8) est 
développable en série de Mac-Laurin 

/i(0) = «o + «i -^ «2 0-H-- • -, 

les a!j^ étant linéaires et homogènes en a,, . . . , rt/^; à savoir 

a'i = ai^^' (o), a', = <72^''-(o)-f- <7,.^"(o), 

En remplaçant a'^ , «!, , . . . par ces expressions dans la série S^ 
on obtient une nouvelle série génératrice (qui est normale quand 
la première série est normale). 



(') Dans tout ce qui précède, nous avons considéré l'étoile A de centre o. ot 
nous nous sommes donné les valeurs, pour c o, de/(c) et de ses dérivées. 
Mais il est ('vidcmmcnt loisible de prendre comme point initial, au lieu de l'ori- 
gine, tout autre point z - a du plan, à condition de remplacer partout c par z — a, 

et /(o ), /' (o). ..., par /( r/, ),/'(<-/ ) La nouvelle série M ainsi formée serik 

dite série (ÎM) d'origine a, et elle convergera dans l'étoile A de centre a. 



SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIOXS ANALYTIQUES. Il5 

Par exemple, soit ^(0)=^ 0^ (/,• entier positif). On a 

c'est-à-dire a\=:o, ..., a'f^_^ = o^ a^=ai, a'^^^=^o, .... La 
nouvelle série génératrice s'obtiendra donc : i" en annulant dans 
la série S tous les a,i dont l'indice n n^est pas un multiple 
de k; 'x" en remplaçant ensuite chaque an oii n =^ Jk par a j. 
Pour chaque valeur de A, on déduit ainsi immédiatement de la 
série S une autre série génératrice. D'un développement (M), par 
exemple du développement (M,), on déduit donc un autre déve- 
loppement (M) : i" en annulant tous les an donf l'indice n n'est 
pas multiple de A"; 2" en remjjlaçant ensuite ajkZJ^ par ajZJ (l'en- 
tier k est choisi arbitrairement une fois pour toutes). 

15. Une autre transformation des séries (M), uniformément 
convergentes dans toute aire intérieure à l'éloile, provient de ce 
qu'elles sont dérivables et intégrables terme à terme. Supposons 
connu un développement (M) : soit (M') la série obtenue en déri- 
vant terme à terme la série (M) qui représentey(;:), et soit (M') 
la série qu'on obtiendrait en apj)liquant à f'{z) le développe- 
ment (M); en général [voir p. i i i), les deux séries (M') et (M*) 
sont différentes. D'après cela, au lieu de développer /"(^î), dévelop- 
pons y''(^) en série (M), puis intégrons terme à terme de o à z 
et ajoutons «q. Nous obtenons une nouvelle série (M) qui se 
déduit de la première en remplaçant partout a,iZ'^ par afij^\ z'^'^* , 
(/ii=:o, 1, 2, . . .), et en ajoutant a^. Plus généralement, en 

développant -r^^^ on obtiendrait une nouvelle série (M), qui se 

déduirait de la première en changeant partout cijiZ'^ en «,^^^3""^^, 
et en ajoutant en tête aQ-i- ai z -{-... ■+• «a-j ^^~' • Si, au lieu de 
partir de la dérivée de /(z), on part de la primitive de /(z^j on 
voit de même que de la série (M) on peut déduire une autre 
série (M) : i" en supprimant les termes en «o, 2" en remplaçant 
partout ensuite anZ'^ par <:/,;_, ^''~'. Plus généralement on peut 
supprimer dans (M) tous les termes en a^^, <7,, . . ., <7/,_, (A' entier 
donné) et remplacer ensuite partout an^/iZ"'^^ par «„ 3" : la nou- 
velle série ainsi obtenue est encore une série (M). 

16. Transformations imaginaires dune série génératrice. 



l'iG NOTIi: DK M. PAINI.EVK. 

Etoile curviligne. — Dans la fonction y(^), efi'ecLuons encore la 
subslitnlion t = ^ (^), la fonction ^(0) étant toujours holomorplie 
pour o ^ 9 ^ I , égale à o pour B = o, à i pour B = i , mais n étant 
plus réelle quand 9 varie de o k i . 

Quand il en est ainsi, 8 variant (par valeurs réelles) de o à i, le 
point t décrit dans son plan un certain chemin / qui va de ^ = o 
à ^ = 1 . Si la fonction y(^) est holomorplie sur /(extrémités com- 
prises), la fonction /< (8)=/[^(Q)] est holomorphe pour o^8^i : 
considérons une série génératrice (soit la série S du n*" 12), et 
formons cette série pour la fonction f^ (8)= aQ-A-a\ 8 + <7'., 8--}-. . . ; 
le développement ainsi obtenu converge vers y, (i ) =y*(i). Mais, 
d'autre part, a\y a!>, ... sont des combinaisons linéaires et 
homogènes de a^^ ûfo, ... [bien déterminées une fois choisie la 
substitution ^:= o-(8)]^ de la série génératrice on déduit donc une 




série de forme analogue, soit (S^), qui jouit de la propriété sui- 
vante : elle converge et représente /(i), quel que soit f{t) 
pourvu que f{t) soit holomorphe sur le chemin l, extrémités 
comprises. Nous donnerons à de telles séries le nom de séries 
génératrices d^ espèce l. Si la série dont on est parti est normale, 
il en est de même de la série transformée. 

Introduisons maintenant la fonction y(;;^), oi\ z est regardé pro- 
visoirement comme une conslanle, et appliquons à cette fonction le 
développement (S^). 11 suffit de remplacer partout, dans la série (S') 
que nous venons de former, <7„ par a„:;'' (/^ = i, 2, 3, . . .). La 
série ainsi obtenue converge pour c = ^0 et représente /{^-o)^ si, 
t variant de o à 1 su/- /, la l'onction /(^oO est holomorphe; autre- 



SUR LK l)KVF.LOPPE.Mi:\T DKS FOMITIONS AXAI.VTIQrnS. I27 

inent dit, si la fonction f{z) est prolongaabla régulièrement 
i^à partir de z :=. o) sur le chemin /^", jusrju^au point Zq inclu- 
sivement (' ), 

Considérons l'ensemble de tous les points ^o d*^' [)lan pocit- 
lesquels cette condition est remplie; nous représenterons par A' 
ce domaine, et nous l'appellerons l'étoile curviligne rVholo- 
morphie (d'espèce / et de centre O) attachée à la fonction f{z). 

Si un point Zq est exclu de l'étoile, c'est que le chemin /"" ren- 
contre au moins un point singulier Ç de f{z). Marquons donc, 
dans le plan des ^, tous les |)oints singuliers ^ àe.f^z) qu'on ren- 
contre en prolongeant f {z) le long de chaque chemin /^% c'est- 
à-dire le long de chaque chemin obtenu en prenant un homothé- 
tique de /par rapport à O et en le faisant tourner autour de O. Tous 
les points z^ du plan exclus de l'étoile A^ sont tels cpie ^, t (pour 
un certain point t de l) coïncide avec une des valeurs Ç. D'après 

cela, soit /< le transformé de l dans la correspondance ^, = - : 

les points exclus de l'étoile A'^ font partie des courbes l\. 

A chaque série (M) la transformation précédente [une fois 
choisie la fonction ^'(B)] fait correspondre une série de même 
forme, que j'appellerai série (M) d'espèce /, ou (pour abréger) 
série (M^). 

Donnons-nous arbitrairement, dans le plan des t^ une courbe l 
qui joint les points ^ = et ^^== i, et qui est partout analytique 
et régulière (extrémités comprises). Soit s l'arc de courbe compté 
positivement à partir du point t=o vers le point ; = i , soit 5t) 

la longueur de l'arc entre ^ r=: o et ^ = i , et soit enfin 8 = — • Si 

nous posons t = u -}- iV, les coordonnées u, i' du point t sont des 
fonctions réelles et holomorphes de B, u:=-g\{^)j ç = g2{^), 
pour o^B^ I. Il suffit de poser 

(27) t = u-h- iç = gi-+~is-^^= g{^) 

pour définir une transformation (-) qui déduit de la série (M) 



( ' ) Pour la notation, voir le n° 8. 

('-) Il est loisible d'ailleurs, le chemin / étant choisi, de remplacer, dans l'éga- 
lité (27), 6 par Y (6), la fonction y (9) étant holomorphe, réelle et comprise entre o- 
et I pour o ^ S I, et telle de plus que y(o) = 0, y( i ) — i. 



128 , NOTE DE M. PAINLEVE. 

donnée [par exemple, de la série (M,)] une série (M'), conver- 
gente dans l'étoile curviligne A'^, qui correspond à la courbe /. 

17. Exemples. — Choisissons, comme chemin /, l'arc de la 

parabole 

V =z liu{u — i) (/i constante réelle -i- ou — ) 

compris entre l'origine et le point ?/ = i , ç^:=zo. Il suffit de 

poser ici 

i = i^ + »' = [ I -h i7i( 6 — I )] = ^ ( j 

pour obtenir une fonction g{^), holomorphe pour o£8^i, et 
telle que croissant de o à i , le point t parte de l'origine et décrive 
la parabole donnée jusqu'au point ^= i. Cette parabole a comme 

1 , . I 1 . I h 

axe la droite u = -> pour sommet le point u = -j ç = — -, pour 

paramètre -tt-i • Elle se réduit à l'axe des u quand h s'annule. 
Sij dans la fonction 

f(f) = ai) -h «1 ^ H- a^i-H-. . ., 

on remplace t par 9[i -f- iA(Q — ')] ^ B(cf)-f-<^), il vient 
/j(6) = «0+ aifi(cO -^ d) +. . .-t-a/i6«(c6 -f- <:/)«-+-. . . 

en posant 

a^^ = an a" + «/i-i a'^-- c ■ :- . . . 



n_.j-j (n —j)(n —j — t) ...(/?, - 2/ — i) 

; 
o<./ 



(s>.8) { -a«f/''-t-^a,w^'^--^c^ j 



avec 

c/ = 1 — t'A, c = «Vi. 

Pour fixer les idées, partons de la série (M,). Il suffit, dans 
cette série, de remplacer «z^^" par l'expression 

n - / ) ( // — / — I K . . ( n — '2 / -4- I ) / . . Il 



V^ . , „ . ./?-/)// — / — I ) . . . /J — 2 / -t- I / . n \ 

a,^«^'-i-2^«._y^«-^^/"-'^^cy !- L^^ L [o<j ^ -j 

pour obtenir une nouvelle série, soit ([Jl'), de forme entièrement 
analogue, et qui converge dans l'éloile curviligne A' correspon- 



SUU LE DKVKLOPPEMENT DKS FONCTIONS ANALYTIQUES. I 29 

danl à l'arc de parabole Ici à la fonclion f{z). Le {n -\- \ j^*^^^ terme 
de cette série est un polynôme en ;: de degré n. 

Par exemple, applic|uée à la fonction f{z) = -^ la série (jjl') 

représentera cette fonction dans tout le plan, sauf sur l'arc de 
la cubique : {v — Iui)(u--\-^^-)-\-Ilu-=^() extérieur au cercle 

Il est facile de préciser la converj^ence de cette série {\J-^ )- Tout 
d'abord, il est évident qu'elle converge absolument comme la 
série (M,). Pour limiter le reste, il suffit de considérer le module 
maximum H de la fonction /"i (8) =/[5„^(B)] quand varie dans 
un rectangle A qui a l'axe réel pour diamètre, et dont les deux 
côtés normaux à cet axe ont comme longueur -na et pour abscisses 

— a et I + a, ( a = , ) • Si l'on arrête la série après le (n -\- i )'^'"^ 

terme, le reste Wn de la série est en module moindre que 



\_2 

e <* 



{voii'\Q n'' 12, p. i2o). D'autre part, au rectangle A l'égalité t = g{h) 
fait correspondre une aire D, qui comprend à son intérieur l'arc l 
de parabole et tend à se réduire à cet arc c|uand a tend vers zéro. 
Quel que soit le point du rectangle A, sa distance minima à un 

point du segment réel o — i est moindre que ai / i 4- -^ << 2 a ; 

par suite, quel que soit le point t de l'aire D, sa distance minima 
à un point de l'arc / est moindre que 2a[i -|- |A| -}- 2|AB|], car 
on sait que 

Q< désignant un point convenablement choisi sur le segment rec- 
tiligne qui joint Qq et f). Or, dans A, on a 

|^'(0)l = |i-i-iA(20-i)|in-|A|(n-2|8|)^i^|Al(3 + 43c). 

Quand |/i| est moindre que i , ce que nous supposerons parla suite, 
et a moindre que 1 (c'est-à-dire n >> 8), la quantité i + |/i|(3 -\- 43t) 
est moindre que 7. Dans ces conditions, décrivons, de chaque 
point de / comme centre, un cercle de rayon i4a, et soit d l'aire 
du plan ainsi balayée : considérons ensuite l'aire semblable d^»^ 
qui tend vers l'arc de parabole /^«, quand n croît indélinimenl. 
Si ^^o fait partie de l'étoile A', la fonction f{z) est holomoiphe 
E. B. û 



l3o NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

dans l'aire (f^o dès que n dépasse une certaine limite /r, et son 
module reste, dans cette aire, inférieur à une certaine quan- 
tité H. On a donc, pour n >> k^ 



|R.(^oj|< 



\ " 



Il suit de là presque immédiatement [voir p. iio) que la 
série (pi.'^) converge uniformément dans toute aire B dont tous les 
points (contour compris) appartiennent à A'. Elle est donc déri- 
vable et intégrable terme à terme indéfiniment dans létoile A'. 

18. Au lieu de l'arc de parabole /, considérons le demi-cercle 
supérieur \ décrit sur le segment o — i comme diamètre. On peut 
prendre, comme transformation correspondante, 

t = u-^ iv = - (\ — cosrrO -h f sin7:Q) = - ([ — e-'-^). 

Si l'on pose encore 

on a 

les coefficients Cj^n ajant des expressions faciles à former et que je 
n'écris pas pour abréger. Si l'on remplace, dans la série (M,), 
les anZ'^ par {c^^nCC\ z -\- , , ,^ Cn^nCin^'^)', la série (li.^) ainsi obtenue 
converge vers f{z) dans tout le plan, sauf sur des demi-droites 
issues de points singuliers Ç de /(^) et faisant avec la direction O^ 

l'angle — '- 



71 
•1 

Si, au demi-cercle A, on substitue le demi-cercle inférieur )/, 



il suffit, dans ce qui précède, de changer 8 en — G et l'angle 



en 



D'une manière générale, soit /' le symétrique de l'arc / par 
rapport à l'axe réel : pour passer de / à /', il suffit de changer / 
en — i dans^(O) = g^ (9) -|- ig2{^)] les deux séries (iM') et (M'') 
sont alors conjuguées l'une de l'autre : j'entends par là (jue les 



SUR LE DEVKLOPPKMKNT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. IH 

coefficients de anZ'^ (pour ii quelconque) sont conjugués clans les 
termes de même ran<^ de (M'^) et de (M*^ )• 

19. Etoile curviligne attachée à une fonction mullifoinie. 
— Quand la fonction f{z) est uniforme dans tout son domaine 
d'existence, il n'y a aucune ambiguïté sur la valeur représentée 

par une série ( j\F). Par exemple, la fonction est représentée 

par la série {\J^'-) dans tout le plan sauf su*.' la demi-droite x =. \ ^ 

Mais, quand la fonction f{z) est multiforme, il convient de |)ré- 
ciscr : la branche représentée par une série (M') en un point ; de 



Fis- :• 



c 







A" 








A 










/ 






K 


/ ... 


^y 


y 


c^ 




y 

B' 




A' 





l'étoile (-V) est la branche prolongée régulièrement le long du 
chemin l^ (à partir de l'origine). 

Par exemple, soit f{z) = y i — z [avec /(o) = + i] ; la sé- 
rie ([i.^), formée pour cette fonction, converge dans le plan sauf 
sur la demi-droite ^ =r i , jK^o, qui est une coupure de la 
branche représentée. Si l'on désigne par/*, (2) la valeur de /(;) 
prolongée régulièrement le long du vecteur 0-3, la série (ui^) re- 
présente/*, (z)j sauf dans le quadrants >> i , ^ << o, où elle repré- 
sente — y, (z), 

il peut se faire que les lignes frontières de (A^) se coupent, de 
façon à enclore un espace. Il faut bien se garder d*en conclure 



l32 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

que cet espace est exclu de l'étoile. Soit, par exemple. 



la série (u?-) converge dans tout le plan sauf sur les trois demi- 
droites AA', BB', ce {fi g. 7) ; elle représente'/, (^) si le vecteur O^ 
n'est coupé par aucune (ou est coupé par deux) de ces trois demi- 
droites et elle représente — J\ (z) si le vecteur Oz est coupé par une 
ou trois de ces demi-droites. En particulier, pour tout point z du 
triangle IJK, la série représente — f\{^-)-) ^t le chemin l^ ren- 
contre au moins une des trois demi-droites exceptionnelles. 

20. Considérons à la fois les deux séries (jJ.^) et ([i-^'), et 
soit pn et T^n le (/i -f- i)^^™*^ terme de ces séries. Désignons par (v^^) 

la série ^^— Cette série (où les coefficients des OnZ'^ sont 

réels) présente des propriétés remarquables. 

Tout d'abord, appliquée à une fonction uniforme, elle repré- 
sente cette fonction sauf sur les droites normales en chaque point 
singulier Ç à la droite Ot^. Mais si la fonction est multiforme, elle 
représentera f\z) dans le voisinage de l'origine, et dans d'autres 

parties du plan — — — {/{-if-i désignant deux branches de/ conve- 
nablement choisies). C'est ainsi qu'appliquée à la fonction y/ i — ; 
la série (v^) converge vers y, [z) dans le demi-plan .r << i et vers 

zéro dans le demi-plan x >> i . Au contraire, la sériel -^-^^ — ^ 

converge vers zéro dans le demi-plan x << i (notamment pour 
x=^o et dans le voisinage), et converge vers une des branches 
(continue) de y/i — z dans le demi-plan .r >> i . 

De même, appliquée à l'exemple (29), la série (v'>) représente 
zéro dans le triangle IJK {fig- 7) et dans les trois angles C'IB', 
A"KB'^, C"JA'; elle représente f{{z) dans le domaine du plan 
(comprenant l'origine) limité parla ligne brisée indéfinie C'IKA'^, 
et une branche continue de f{z) dans les autres portions du 
planB'^KJG'^etB'IJA'. 

Ainsi, // existe des séries de la forme 



SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l33 

qui convergent uniformément vers f[z) clans le voisinage de 
l'origine [quelle que soit la fonction 

f{z) = ciq -T- a 1 2 -^ a* z- -^ . . . , 

holomorphe à l'origine] et qi/i, i>our certaines fonctions fi^z) 

telles que \J v — z^ convergent uniformément vers zéro dans 
une autre partie du plan. 

Au lieu de la combinaison — '—■, on aurait nu former aussi 

•}. * 

len la combinaison ; — » ia. b constantes numériques). 



Appliquée à y/i — c, la nouvelle série (v') ainsi obtenue repré- 

. { n — b) Kl \ — z , , , . , 
senterait ■ dans le demi-pian x^ \ . 

a -^ b * 

Enfin, on arriverait à des conclusions analogues en combinant 
deux séries conjuguées (M'^) et (IVF) quelconques. 

21. Extension des résultats précédents. — Nous sommes 
partis, dans ce qui précède (n" 16), d'une courbe / joignant les 
points ^ = o, t^ \ et partout analytique et régulière. Mais il est 
loisible de se donner entre o et i une courbe continue entière- 
ment ciuelconcpie, soitL. En effet, une telle courbe peut toujours 
être regardée comme la limite d'une courbe analytique régulière 
(joignant o et i), qui dépend d'un entier n : quand n croît indé- 
finiment, cette courbe l,i tend vers L. Pour chaque chemin /, on 
sait former une série (]\F) représentant f{z) dans l'étoile A'; 
quand / tend vers L, A*^ lend vers A^. 

Appelons d l'aire balayée par les cercles ayant leur centre 

sur Ifi et de rayon — : on peut dans la série (M^«) prendre un 

nombre de termes assez grand pour que la somme de ces termes, 

soit qn{^)i diffère àe f(^z) d'une quantité moindre que — ;, sous la 

seule condition que la fonction y(:;), d'ailleurs quelconque, soit 
holomorphe et de module inférieur à H dans d'. Ceci posé, je dis 
que la série .' ^, H- {q-i — q\) -+- {<J:i — Ç^) + • • • (^st une série (M^) : 
en effet, soit z un point de l'étoile A^ et B une aire renfermant à 
son intérieur le chemin L^, aire dans laquelle /"(;) est holomorphe 
et de module inférieur à une quantité finie H. Dès que /i dépasse 



l34 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

une certaine limite /r, le chemin /^"^ et l'aire d^ correspondante, étant 

très voisins de L^, sont intérieurs à B, et l'on a |/(^) — ^«(^)| < — ; • 

La série : q^ +(^2 — 71) + (^a — ^:i) + • • • converge donc abso- 
lument dans l'étoile A'^ vers f{z) [c'est-à-dire vers la branche 
de .f{z) prolongée le long de L^]. 

Il résulte aussitôt du raisonnement qu'elle converge uniformé- 
ment dans toute aire intérieure à cette étoile. c. q. f. d. 

Par exemple, prenons pour L la spirale logarithmique p = e^'^ 
(p et Lu coordonnées polaires de t z= u -\-w\ h const. >> o). Pour 
to = o, p est égal à i; pour w = — go, p est nul; l'origine est un 
point asjmptotique. Nous poserons : 

quand 8 croît de o à i, par valeurs réelles, t décrit un arc de spi- 
rale 1,1 du point ^ r= o au point ^ = [; cette spirale /,;, qui est 

définie par l'égalité : t -\- 3- =ze^^Xe'^, est une spirale 

semblable à L, ajant comme point asymptote le [)oint / = ^- > 

et qui tend vers L quand n croît indéfiniment. 

L'étoile A'' qui correspond à la spirale L est intéressante parce 
que deux lignes frontières de l'étoile ne se coupent jamais, et cela 
quelles que soient les singularités de /(5). La spirale L (en parti- 
culier la droite o — i) est la seule courbe qui réponde à cette con- 
dition ('). ^ 

22. Indiquons rapidement une autre généralisation. Partons de 

l'égalité 

z = p(zq, t) 



( ' ) En effet, soit L' la transformée de L dans la substitution t = —; les courbes 

h'~ (qui dépendent des deux paramètres réels x, y, si z = x -i- iy) se coupent 
et par chaque point de l'espace il en j)asse une infinité, à moins que toutes les 
courbes L'* passant par un point aibitraire P ne se confondent. Pour qu'il en 
soit ainsi, il faut et il suffit que la courbe L' admette une transformation con- 
tinue en elle-même de l'espèce : p, = Â p, w, = w -h h. Or les seules courbes jouis- 
sant de cette propriété sont des spirales logarithmiques de foyer O (en particulier 
les cercles de centre O et les droites issues de O); les inverses de ces courbes sont 
des courbes de même espèce. Les cercles sont à écarter puisque L doit passer par 
l'origine. 



SUR LE DÉVELOPPEMKNT DES FONCTIONS AXALYTIOLES. l'V) 

OÙ désigne une fonelioii enlirre de z-o el une lunelion |j(jluM»orphe 
de t pour t réel et compris entre o et i (d^^^i); de plus; cetle 
fonction s'annule avec t et est égale à Zq pour t z= i . Quand C croît 
de o à j, z décrit une courbe hien déterminée, soit /.^, de o à z^- 
Par exemple, soit p =z t^Zo-\- (t — O^ol * '^ courbe L^ est une 
parabole facile à définir géométriquement. 

Introduisons maintenant la fonction F(^) =/{^) ^/[t'i^oy 0]' 
si J\z) est holomorplie le long du chemin /.^ (extrémités com- 
prises), F(/) est holomorplie dans l'intervalle o^ ^^ i , et F(i) ou 
/(zq) est représentée par la série génératrice normale S du n^ 12 
(ou par toute autre); posons encore 



P(^t) = ao-h a\t ^ a'., f^ ^ 



on a 



r^ 



p{z, t) = tp't{z, 0)4- - pr.{z, 0)-+-...= tpi(z)-^r-p2{z)^'--, 

les pj(z) désignant des fonctions entières de ^(des polynômes si o 
est un polynôme en z). D'oii 

/[p(-So, 0] = ao+«ip -f-«2p--^. .. 

= ao-^ ai pi{zo) t -h (ai p2 -h a.2pl) r- -\- ... , 
c'est-à-dire 

a'i = a,pi( So), «2 = «ip2(^o)4- «2pî(-So), .••; 

d'une façon générale, a\^ est une combinaison linéaire et homo- 
gène de a,, ..., Ufij dont les coefficients sont des fonctions 
entières connues de -^o- H suffît de remplacer les a]^ par ces expres- 
sions dans la série S pour obtenir une série de la forme 



(3o) ao-+-{n) 2.1^1 ri, n(^o)-^ (i2r2,ni^o) + 



an''n,7i{-^o)]j 



OÙ les ;• sont des fonctions entières connues de Zq', cette série 
converge versy(^o) ^'^ /{^) ^st holomorplie le long du chemin /. . 
Les points exclus de cette nouvelle étoile de convergence sont 
donc les points Ç tels que sur le chemin l^ on rencontre une sin- 
gularité de la fonction y(:;) prolongée. 

Il serait aisé d'étendre ces résultats (convenablement modifiés) 
au cas où la fonction o(^, t) ne serait pas entière en 3. Je veux 
seulement indiquer ici un problème qui se pose à ce sujet : à 
chaque point z du plan des z, attachons un chemin bien déter- 
miné /- allant de l'origine à ^ et qui varie d'une façon continue 



l36 NOTE DE M. PAIXLEVÉ. 

avec z. Existe-t-il une série répondant aux conditions suivantes : 
i" son 7^'^''"'^ terme est linéaire et homogène en «o? <^i) • • •? ««, les 
coefficients étant des fonctions connues (\e z\ 2° elle converge 
vers f{z) [quelle que soit la fonction f{z)^ pourvu que sur le 
chemin 4 la fonction f{z) soit prolongeable régulièrement 
jusqu'au point z inclusivement ? 

D'après ce qui précède, on peut choisir des chemins 4 tels que 
la réponse soit affirmative. Mais peut-on les choisir arbitraire- 
ment ou, sinon, quelles conditions doivent-ils remplir? Ce sont là 
des questions non encore résolues. 

23. Application aux fonctions réelles, — Restreignons-nous, 
pour un instant, aux valeurs réelles x de la variable. Quand nous 
développons f{x) en série (M^), la série converge si f{z) est 
holomorphe le long du chemin l^, et représente la valeur de f 
avec laquelle on arrive en x en prolongeant analytiquementy(5) 
(à partir de ^ ^ o) le long de l^. 

Imaginons, plus généralement, qii'à chaque point x^^ on fasse 
correspondre un chemin 1[xq) joignant Xq à C origine, chemin 
qui soit analytique et régulier [extrémités comprises) pour 
chacjue valeur de Xq^ et qui varie avec Xq d'une façon ana- 
lytique et régulière ( * ). Autrement dit, soient s l'arc de ce ciiemin 
compté à partir de O vers Xq^ et '^{xq) sa longueur totale ; les coor- 
données^, y d'un point du chemin sont des fonctions holomorphes 
de s et de Xq pour tout couple 5, Xq tel qu'on ait o^s'£^[xq)\ 
<j{xq) est une fonction holomorphe pour toutes les valeurs réelles 

de Xq et, si l'on pose ' =z t^ x el y sont des fonctions holo- 

morphes de t et de Xq^ quel que soit Xq, pour o^^£i. Il suffit 

alors de poser 

X -^ iy = o{x^^ t) 

pour obtenir (comme au numéro précédent) une série de la 
forme (3o), où les rj^^ sont des fonctions connues (-) de x holo- 

(') Il serait facile de lever ces restrictions comme au n" 21; on peut se donner 
arbitrairement le chemin /(^o) sous la condition qu'il soit continu et varie avec x^^ 
d'une manière continue. 

(-) Ces fonctions /• sont indépendante^ de/ et ne dépendent que de la famille 
choisie de chemins l{x); ce sont des combinaisons entières de 

P/(-2^o» o). 9t^^x,^ <0 



SL'u lp: 1)i':vi;l<)I'I'i:.mi:m' I)i;s fonctions anai.vtjquk.s. i3y 

inorplies pour x réel : celte série coiwerge si, le loiif^ de l{xo), 
f{oc) est holoinorplie, et elle représente la valeur de f prolongée 
jusqu'en Xq sur ce chemin. 

2i. Supposons notamment (pie la fonction y(^) soit uniforme 
et ait toutes ses singularités réelles; chaque série (M') repré- 
sentera /(^) pour toutes les valeurs de x (les valeurs singu- 
lières exceptées), et elle sera dérivahle terme à terme indéfini- 
ment : la série et les séries dérivées convergent uniformément 
sur tout segment de l'axe réel qui ne comprend j)as de point sin- 
gulier. 

Si la fonction, toujours uniforme, est holomorplie dans un cer- 
tain angle .rOA et dans l'angle prolongé, il suffit de prendre 
comme chemin / un arc intérieur à cet angle pour que la série (M') 
correspondante jouisse encore des propriétés énoncées. 

Quand la fonction fi^z^ n'est plus uniforme, distinguons les 
valeurs de/"(3) à droite et à gauche de la demi-droite Ox. Con- 
sidérons un petit angle positif xO Pi. et prolongeons /(^) dans ce 
petit angle : nous dirons que nous étudions f{z) li droite de O^, 
et nous représenterons par fd{^) la fonction ainsi prolongée 
(fonction en général multiforme). Le point Pétant donné sur Ox, 

décrivons de O comme centre un cercle de rayon OP; siy*^/(^) est 
uniforme (ou holomorphe) à l'intérieur de ce cercle et de 
l'angle ^OA (pris suffisamment petit), nous convenons de dire 
que/"(^) est uniforme (ou holomorphe) à droite de Ox jusqu'au 
point P^ dans ce cas, la valeur àe fa{z) est bien déterminée en 
tout point X de OP [non singulier pour yi/(^)] * c'est, par défini- 
tion, la valeur de f du côté droit de Ox. 

Les valeurs de/* à gauche de O^, soityo^(^), se définissent de 
la même manière en considérant un petit angle ^OB négatif {^). 
Remarquons que si la fonction y,/(^) est uniforme à droite de OP, 
et ne présente sur OP que des points singuliers isolés non cri- 
tiques, fd{z) coïncide sur OP usée fg{z). Au contraire, il peut 
arriver que/^/(G) ne présente sur OP d'autres singularités que des 



(') Il est évident que ces définitions s'appliquent d'elles-mêmes à une demi- 
droite quelconque issue de l'origine, et en particulier à l'axe réel négatif. 



l38 NOTE DE M. PAIXLEVE. 

points critiques algébriques, tandis que fg{z) présente sur OP 
des singularités transcendantes (^). 

J'ai insisté sur cette terminologie parce qu'elle nous servira 
plus loin. Admettons maintenant c\ne, f{z) soit holomorphc dans 
un certain angle positif ^OA : la série (M'^) représentera /'^(^r) en 
tout point X non singulier poury*^/(^), du moment que l'arc / aura 
été choisi intérieur à l'angle ^OA. Soit /' le chemin symétrique 
de / par rapport à Ox^ et (M^') la série conjuguée de (M^) (n" 18) ; 
la série (M^') représente /^(^), si/(^) est holomorphe dans l'angle 
^OB (symétrique de .^OA). 

25. Considérons en particulier une fonction f{z) qui n'ait 
d'autre point singulier que le point z = i autour duquel deux va- 
leurs seulement de y*(^) se permutent. Les séries (M'^) et (M^') 
convergent sur Taxe Ox sauf pour ^ = i et représentent respecti- 
vementy^(^) elfg(x). 

Si l'on ajoute terme à terme les deux séries (M') et (M''), multi- 
pliées respectivement par j-y i-t la nouvelle série (W) 

représente f{x) pour .r << i et -^^-^ -^ — - pour x^ \. 

taisons notamment a = b] la série -représente J{x) 

f,l( X) -\- fn-ix) ^ ^' \ ■> 

pour .r <^ I et ^^ — - — ^-^^- — - pour jc >> i ^ comme j{^z) n a que 

deux branches, soit/et/i , /-h/i est une fonction uniforme F(:;) 

et •'^' • '^ "^ n'est autre chose que ; la nouvelle série 

représente donc une fonction à deux branches pour^<; i et une 
fonction uniforme pour ^ >> i . Remarquons que si/(^) est réelle 
(pour X voisin de o), a^. «i, rt^, ... sont réels et la série 
(M') H- (M'') a ses termes réels pour z réel. 

G est ainsi que la série '^ ^ ^ — -■> appliquée a \l \ — x^ repré- 
sente \/i — X pour .r «< I , et o pour x"^ \ . 



(*) Exemple : /(z) = e'^v^»---' (où -+-}Ji— z — i pour z = o) ; sur Ox, la 
branche /^{z) n'a qu'un point singulier (point critique algébrique) - = i; 
tandis que/ (5) a en outre un point essentiel z = .1. 



SUR LF-: DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALVTIQLES. li^j 

Les séries (M'), (M^'),(]N')converj;enl ici unirorinéineiiL eLal)SO- 
liiment sur tout segment de l'axe ré(,'l fini ne renferme pas j:: = i, 
et il en est de même |)Our les séries dc'rivées. Appelons G{^) ''• 
fonction déiinie pour x quelconque (^i) pai' la série N'(^). 
La fonction G(^) a des dérivées de tout ordre sauf pour x = \ . 
Formons, pour cette fonction, la série (N'), mais en prenant x„ 
comme origine (voir la note (•), p. lao). Si Xo<^ i, G(x) coïn- 
cide avec f{x) pour x voisin de Xq^ et la nouvelle série N' (d'ori- 
gine ^o) représente, comme la première, la fonction G(^) tout le 
long de Taxe des x (le j)oint x = i étant toujours excepté). Si 

^o> 1 5 G(^) coïncide (pour x voisin de Xq) avec — —, ; 

la série (M'), d'origine ^05 représente G{x) pour ^ > i , et G, {x) 
pour X «< I , G, (:r) désignant la valeur obtenue en prolongeant 
G(^) de .ro>> I à ^ << I au-dessous de Vaxe des x. Or, quand 
on prolonge y'(^) de ^' <; 1 à Xq > i au-dessus de Ox^ on arrive 
en jCo avec la valeury*^/(xo); si, partant de Xç^ avec cette valeur, on 
chemine au-dessous de l'axe des x^ on revient en ^ < i avec la 

valeur /< (^). Il suit de là que G^{x)^^ — j—^ et que les sé^ 

ries (M^), (M''), d'origine Xq':> \^ représentent respectivement 

af\-h bf af-^hf\ , , • /i\t/ o • • -^ 

— ~-, — f- pour ^ < 1 ; la série (i\M d online Xq^ 1 repre- 

a-\-b a^b ^ ' v / » " -^ r 

, a{ai\-^hr\^hiaf-^bf\-) ^ /^ . 1 

sente donc ; '■ — pour x <i\. L.ette dernière 

^a ^ b)^ 1 

expression diffère en général dey*(j;). Mais peut-on choisir a et b 
de façon qu'elle coïncide avecy(^), quelle que soit la fonctiony 
(à deux branches)? Il faut et il suffit pour cela qu'on ait : 
a-+Z>-=o, 2 a6= (aH- Z>)-, c'est-à-dire 6 = dz /«. Représen- 
tons par (N^J la combinaison (M')h- /(M^') ; la série (N') jouil, 
d'après ce qui précède, des propriétés suivantes : elle converge 
quel que soit x, sauf pour x =^ i , et elle converge absolument 
et uniformément, ainsi que les séries dérivées, sur tout seg- 
ment de Vaxe réel qui ne renferme pas le point .7^ = 1; sa 

somme yj[x) coïncide avec j^x) pour x << i et avec 

pour X "^ i . Si Von forme, pour la fonction G(^), la série (îN'j), 
d^ origine Xq^ i , cette série jouit de toutes les propriétés de la 
première et représente comme elle la fonction G(.r) tout le long 
de Vaxe des x [le point x =^ i étant toujours excepté) : cela. 



] \0 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

t|iielle que soit la fonction f{oc)^ pourvu que cette fonction n'ait 
x'ue deux branches et n'admette que le point singulier x ^ \ . 

Ce résultat est remarqnable, si l'on réfléchit que G(^) coïncide 
(suivant que x est >> i ou << i ) avec deux fonctions analytiques 
différentes (^ ). 

Par exemple, appliquée à/'(.3) = y/i — ^, la série (N',) repré- 
sente y/i — X pour jc << I , et \l x — i pour ^ >> i . 

26. Séries (M) qui convergent sur les droites frontières. — 
En se servant des séries (M*^), on peut former des séries (M) qui 
convergent non seulement dans l'étoile A, mais encore sur les 
demi-droites frontières, pourvu que les points singuliers dont 
ces droites sont issues satisfassent à certaines conditions très 
générales que nous allons préciser. 

Considérons, en efî'et, nne série (M^), par exemple la série (li.*^) 
du n" 17. qui corresponfl (-) à l'arc / de parabole 

p = — liai II — I ) ( // > o ), 

compris entre les poins t ^ u -^ iv = o et t =^ \ . La somme S/^ 
des (/i + i) premiers termes de la série (a'^) diffère dey(^) d'une 

• ' • 1 11 i\\ \/ Il . ... . , , , 

quantité moindre en module cpic , si j[z) esl iioiomorphe et 

e '* 
de module inférieur à H dans l'aire <^^ (déduite de l'aire <i balayée 

par les cercles de rayon \Av.= -r— — dont les centres décrivent / ) : 

cela, quelle que soit la constante A, de module moindre que i. 
Ceci rappelé, adoptons, pour chaque valeur de l'entier /«, une 

valeur de // qui tende vers zéro avec —■> mais infiniment plus 



(') On peut former des exemples où la série (N'j ) jouit de toutes les propriétés 
précédentes et de plus converge absolument et uniformément sur tout segment de 
l'axe des x ainsi que les séries dérivées. Mais, pour .r = i, la fonction G(x) est 
nulle ainsi que toutes ses dérivées et la série (N''j ) d'origine i, au lieu de repré- 
senter G{x), est identiquement nulle. 

(-) On pourrait partir de n'importe quelle série (M'), sous la seule restriction 
que le chemin l ne traverse pas l'axe des x. Si le chemin l traverse l'axe des .r, 
la méthode même du texte permet aisément d'apercevoir les modifications qu'il 
faut apporter aux conclusions qui vont suivre. 



SUR LK DliVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l4l 

lentement que a. Posons, par cxornplo, 






(h étant positif, le chemin / est situé au-dessus de O^) ('). 
Quand n croît indéfiniment, l'étoile A*^ (bien déterminée pour 
chaque valeur de n) tend vers l'étoile A, et le domaine d^ tend à 

se réduire au vecteur O^. D'autre part, pour chaque valeur de n, 
Sn est un polynôme en z bien déterminé, de degré n, cpii, lorsque 
n croît indéfiniment, tend vers /{z) pour tout [)oint z de A : car 
dès que n dépasse une certaine limite, d^ différant très peu du vec- 
teur Oz,f(z) est holomorphe dans d^ et y garde un module infé- 
rieur à une quantité fixe H. Au lieu d'un seul point z, considérons 
une aire B intérieure à A, et une aire B' comprenant B à son inté- 
rieur, mais intérieure à A : dès (jue ji dépasse une certaine 
limite q, l'aire d^ fait partie de B', quel que soit z dans B, et l'on a 

(3i) \f{^) -^n{^)\< - — '■ pour n>q, 

e '■* 

en tout point z de B, [Hy maximum de f{z) dans B']. 
D'après cela, la série 

(M2) So-f-(Si— So)-4-(So— Si)H-...= ao + /^i(:;)-4-7?.2(^)-4-... 

est une série (M) qui converge absolument dans A et uniformé- 
ment dans toute aire intérieure à A. Le terme /j>^ est un polynôme 
en ^ de degré n. 

27. Examinons maintenant ce qui se passe sur les demi-droites 
frontières de A. Soit D une demi-droite exceptionnelle, issue du 
point singulier Ç : si ce point est algébrique, je vais montrer 
que la série (Mo) converge absolument sur D au delà du point s 
et représente fd{'^)-, tant qu'on ne rencontre pas sur D un point 
singulier transcendant de fd{z). Elle converge même unifor- 
mément \evs f(i(z) et est dérivable terme à lerme indéfinimetit 

(') Si, au lieu de prendre /i = + y/a, on prenait /i = — ya, la courbe / (cor- 
respondant à chaque valeur de n) serait située au-dessous de O^, et il faudrait, 
dans tout ce qui suit, remplacer /,i{z) par /^(s), valeur de/(^) à gauche de D. 



l4'i NOTE Dli M. PAINLEVJÉ. 

sur tout segment PP^ de D le long duqnel /d{^) est liolomorphe 
(extrémités comprises) [pourvu qu'entre Ç et P la fonction /^(^) 
ne présente que des points singuliers algébriques]. 

En particulier, si Ç est un pâle et si D ne renferme pas d'autre 
point singulier, la série Mo converge vers /{z) sur toute la 
droite D (le point Ç excepté) et converge uniformément sur tout 
segment fini PP' de D (dont Z, ne fait pas partie). 

Pour démontrer ce théorème, plaçons-nous d'abord dans l'iijpo- 
thèse où entre Ç et P il n'existe pas de point singulier de fd{z). 

De O comme centre décrivons un cercle plus petit que le 
cercle d'holomorphie de J\z)\ entourons PP' d'une aire assez 
aplatie pour que fd{'-) J soit prolongeable régulièrement (con- 
tour compris); enfin relions ces deux aires par une bande aba'b' 



Fis:. 8. 




attenante au bord droit de OP et assez étroite pour faire partie 
de l'étoile A. Si, dans l'aire totale E ainsi formée, on prolonge la 
fonction /"(-s), celte branche de fonction, qui coïncide le long 
de OP' di\ec f(i{z) et que je représenterai pary<i(3), est holo- 
morplic dans E, contour compris, le point Ç excepté. En ce point, 
qui est un point algébrique, y*</(^) peut devenir infini d'un certain 
ordre m (entier ou fractionnaire) : dans l'aire E, |/f/(^)| reste 
K 



inférieur à 



, K désignant une certaine constante et m une 



cpinnlité positive ou nulle. 

D'autre part, soit Zq un point du segment PP'. Pour les pelilcs 
valeurs de A, donc pour les grandes valeurs de /i, le chemin /^odif- 



SUR LE DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALVTIQLES. 



ii3 



fcre très peu du vecteur O^,, cL fait partie de l'aire 1'^; la distance 
minima o entre un point de /^o et un point du contour de E lend 
vers zéro avec A, et est de l'ordre de h pour li infiniment petit; on 
peut écrire o = ^h, ut. désignant une quantité positive qui dépend 
de h et de ^o? et qui reste supérieure (*) à un noml)re fixe A >> o 
quels que soient z^ entre P et P' et h entre o et i . L'aire <^^" est, 
par suite, intérieure à E, dès que n dépasse une certaine limite 
(indépendante de la position de z entre P et P') : en effet, les 
cercles décrits d'un point de L^» comme centre, avec i4a|^o| 
comme rayon, sont intérieurs à E dès que i4aOP^ est moindre 
que XA, c'esl-à-dire dès que n dépasse un certain entier, puisque 
A est infiniment grand par rapport à a pour /i = zc. Soit q une 
valeur de n telle qu'on ait 



c'est-à-dire 



14 ap < - /a, 



ou 



l4 3(0 < Il 

' 1 



r- '^ 

20 



(? = 0P'), 



ou enfin 



log^ 



■^m- 



Pour /i ^ q, la fonction /(z) est holomorphe dans Taire d^»] 

son juodule y est. moindre que 7-^^ — ^) c'est-à-dire moindre 

que —. — j puisque z, variant dans <:/^o, reste à une distance 



h' 



de Ç supérieure à aA — li^yp >- - A. 

L'inégalité (3i) s'applique donc au point ;3o et donne ici 

K \/ n 



(32) 

Or h = 



\fAZo)-Sn{Zo)\< 



X 



•1/ |A|'"e* 

=:l/-i j et -, — est inférieure à v//i pour 71 suffisamment 

grand. On a donc, tout le long de PP', 

l/di-^) — S/i(^)| < K — - (K constante numérique), 



dès que n dépasse un certain entier. 



( ' ) Il serait facile de donner une valeur explicite de 'k, mais la chose est inutile 
au raisonnement. 



l44 XOTE DE M. l'AINLEVK. 

La série (Mo) converge donc absolument et uniformément 
le long de PP' vers .fd{^)' c. q. f. d. 

28. De plus, pour chaque valeur de /i, décrivons du point Zq 
comme centre un cercle c de rayon u.a (|jl constante numérique). 
Quand z reste intérieur à c, le chemin l^ reste intérieur au do- 
maine E (au moins dès que n est suftlsamment grand) et la dis- 
tance minima de u à l'arc l^ est encore de l'ordre îi et supérieure 
à \li (en modifiant un peu, s'il est nécessaire, la constante \ intro- 
duite plus haut). L'inégalité (82) se trouve donc démontrée non 
seulement pour ;î = Zq, mais dans tout le cercle c, d'où l'on déduit, 
en vertu d'un théorème classique (^) : 

m 

n, -s , . r.,,■^. VI /! ^I"^ '^/' ,.,(]o2:n) 2 »/7ï K' n 
fU\^o) — ^nK^o)\ < — — ^ . X = < Iv' — ^:^ = < — 3- 



en tout point ^0 de PP', dès que n dépasse un certain entier. 

Les séries obtenues en dérivant terme à terme la série (Mo) 
convergent donc, elles aussi, sur PP' absolument et uniformément; 
elles représentent sur PP' les dérivées successives de fd{^-)' 

Si, entre l'origine et le point P, il existe plusieurs points sin- 
guliers (tous algébricjues) de fd{^-), l'ien n'est changé dans le 
raisonnement précédent : il suffit de considérer l'ordre maxi- 
mum 7n d'infinitude de fd{^) en ces points singuliers; dans 

l'aire c/^o, |/t/(-^)| est moindre que , , — (quel que soit -^o 



(i) 



entre P et P'), et les inégalités précédentes subsistent. 

D'une façon générale, pour que le raisonnement subsiste, il 
suj/it : 1° que f{^-) soit holomorpJie juscju'en un point Q ^> 
droite (-) de D, et 2" qu'en tout point singulier ç de fd{^-) 
sur D, o/i ait 



(33) \fd{-^)\ < e'-~^l'" (m constante numérique > o), 

pour z voisin de ^ à droite de D. 



(') A savoir ce théorème : Si F(^) est lioloinorpke et de module moindre 

/: 

(]uc II dans un cercle de rayon et de centre -c„, | FO) {Zq)\ est moindre que II '-^ • 
(■-) Voir le n" 24. 



i04 



SLR LK i)i:veloi>im:mknt [)ks fonctions analytiques. 

Soit alors W un serment de D compris enlre O et Q el le long 
duquel y^(^) est holomorphc. Quel que soit ^o entre P et P', la 
fonction y</(;;) (dès (|uc /i dépasse une certaine limite) est holo- 



f± 



morphe et de module moindre que e dans l'aire d^^ qui cor- 

respond à chaque valeur de n. Or la (juantité 



Th) =[î) [—rj 



est moindre que n\ dès (|ue n dépasse un certain entier ^, en 
sorte qu'on a 

\/{Zo) — Sn{Zo)\<2e>^'x -^, 

il 

e '* 

pour n >•</, le long du segment PP'. Cette inégalité entraîne les 
mêmes conséquences que ci-dessus. 

Remarquons que, sur D, les points singuliers de fd{z-) peuvent 
former des ensembles quelconques, et même comprendre tous les 
points d'un segment : la seule condition qui leur soit imposée est 
l'inégalité (33). 

En définitive, si la fonction f{^) est holornorphe à droite de D 
jusqu'en un certain point Q, et si, en chacjue point singulier ç 
de fd{z) sur D, l'inégalité (33) est vérifiée, la série (M2) con- 
verge absolument et uniformément vers fd{z) sur tout seg- 
ment PP'<^e OQ le long duquel fd{z) est holomorphe ; les séries 
dérivées terme à terme convergent de la même manière sur PP' 
vers les dérivées successives de fd{z). 

I 
29. Par exemple, appliquée à la fonction e^~', la série (Mo) 

converge absolument tians tout le plan, sauf pour ; =: i ; elle 

converge uniformément dans toute aire qui n'a aucun point 

commun avec la demi-droite ^' >> i , >= o. Elle converge uni- 

formément vers e^~^ sur tout segment fini x^x-^ de cello dnnl- 

droite (i <; ^1 <C ^2)- 

Il est impossible que cette dernière série converge uniformé- 
ment sur une courbe traversant la demi-droite exceptionnelle : 
autrement, on formerait aisément une courbe fermée C entourant 
le point jj = I et sur laquelle la série (Mo) convergerait unifor- 
E. B, , 10 



I46 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

mément. Les termes de cette série (polynômes en z) étant holo- 
morphes dans C et sur C, la série (d'après un théorème classique) 
convergerait uniformément dans C, et sa somme serait holomorphe 
dans G, en particulier pour ^ = i , ce qui est absurde. La remarque 
s'étend évidemment au développement d'une fonction quelconque 
par la série (Mo). 

Admettons enfin que, y(^) étant toujours holomorphe à droite 
de OQ, l'inégalité (33) ne soit pas vérifiée, mais qu'on connaisse 
une limite quelconque du mode de croissance de fd{^) dans le 
voisinage de chacun des points singuliers ^ situés sur D (entre O 
et Q); soit 

i/,/(^-)i<o(ijèi|)- 

On peut toujours former une série analogue à (Mo) et qui repré- 
sente fd{z) sur OQ (en dehors des points singuliers) : il suffit, 
dans les raisonnements précédents, de faire décroître Ji plus len- 
tement encore avec -j et de prendre h = -r-, — r tel que (la con- 
stante g étant arbitraire, mais positive) l'on ait 

\ n IL' 

eT 

dès que /i dépasse une certaine limite (qui dépend de g) ('). 
Par exemple, si l'on sait qu'on a 



|//(-s)I<e^'^"''"' (mconst. >o), 

dans le voisinage de chaque point ^, il suffit, comme on le voit 
aisément, de prendre h = loga 



loglog/i — log-2 



J^^nlin, tous les résultats obtenus s'étendent d'eux-mêmes aux 
fonctions de plusieurs variables. 



(') L'existence de séries (M) qui convergent sur les demi-droites frontières 
au delà des pôles a été démontrée pour la première fois, à l'aide de considéra- 
lions toutes différentes, par M. Ilelge von Koch. INI. Miltag-Lefflcr a récemment 
indiqué d'autres séries (M) convcrgenlcs au delà des points singuliers isolés de 
f{z) qui ne sont pas des points de branchement (points essentiels de Weicrstrass), 
et cela quel que soit le mode de croissance de/(c) aux alentours du point. 



SUR LIi DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l47 

30. Quelques applications des résultats précédents. — Ne 
<3onsiclérons plus, dans ce qui suit, que des fonctions j\z) dont 
les points singuliers à dislance finie sont tous algébriques. La 
série (M^) correspondante convergera dans tout le plan, sauf aux 
points singuliers, sommets de l'étoile, et représentera y^(;:) sur les 
demi-droites D. 

Appliquons celte remarque auxéqualions dilTerenlielles linéaires 
à coefficients alg(';bri(jues, et soient s^,, . . ., '^/; les points singuliers 

de l'intésrale. Si l'on [)ose Z = — , l'intégrale de- 

^ ^ (- — ÇO-'-C-s — C/c) ^ 

vient (*) une fonction ,/(Z) dont le seul point singulier non algé- 
brique est à l'infini, et qui n'a qu'un nombre fini de points cri- 
tiques algébriques : le développement dey(3) en série (Mo) con- 
verge donc dans tout le plan sauf aux ])oints singuliers. 

Quand, à la série (M2), on substitue la série conjuguée (M3), qui 
s'en déduit en changeant partout li en — /i, la nouvelle série jouit 
exactement des mêmes propriétés que (Mo) à cela près que fd{z) 
est lemplacé partout par/^(^), valeur de /à gauche de D. 

Ajoutons ensemble maintenant, terme à terme, les deux sé- 

«ries (M,) et (M3), multipliées respectivement par -y -; 

^ - ^ \/' 1 i 1 a -^ b a -\- h 

on forme ainsi une série (M), qui représente .^(x;) dans l'étoile A, 

1 1 • 1 • c 'y ' affi-\-hf,r 

et nui, sur les demi-droites irontieres, représente -^ —^ 

' ^ a -\- h 

En particulier, si l'on prend a =: ^, on obtient une série de la 
forme 

oit les coefficients X sont réels, qui représente f(z) dans l'étoile 
et la moyenne arithmétique de fa et fg sur les demi-droites D. 
Appliquée à y/i — ■ z^ celle série re[)résenLe ^^i — x pour x réel 
et << 1 et représente zéro pour x réel et ]^ i . 

Si l'on retranche terme à terme les deux séries (Mo) et (M 3), 
on obtient (après division par i) une série de forme entièrement 
.analogue à la précédente, qui représente zéro dans tout le plan, 
quel que soit f{z), sauf sur les demi-droites D où elle repré- 
sente//—/^.. 

(') On peut évilci- cette transformation en discutant le mode de croissance de 
J'intégrale dans le voisinage de cliaque point singulier ^ 



l48 NOTE DE M. PAINLEVÉ. 

31. Parmi Jes séries (M) de la forme ^ '> )^ ^ 3 ^ |^ série 

^ ^ a -T- o 

— - '^ ~ > que je désignerai par (M..,), est la plus remarquable. 

Appliqiions ce développement (M/,) à une fonction /{:■) qui n"a, 
sur l'axe réel, d'autre point singulier que le point ^= i^ point 
algébrique autour duquel deux brandies seulement se permutent. 
La série (jM/, ) jouit alors des propriétés suivantes : 

1" Elfe converge absolument et uniformément, ainsi que 
les séries dérivées, sur tout segment de l'axe réel qui ne com- 
prend pas le point X ^= i; elle converge vers f{x) pour x <C 1 

et vers '— — '-^ pour x >> i (voir le n" zo). 

I H- i ^ ^ ^ 

2" La somme G(^) de cette série coïncide donc avec f{x) 
pour X <i\ , et avec une fonction analytique distizvcte de f[x) 
pour ;r >> ( . Mais, si l'on applique à la fonction C-%[x) le déve- 
loppement (M/,) en prenant Xq comme origine, la nouvelle 
série (M',) jouit des mêmes propriétés et représente la même 
fonction (j{x) que la première sur tout Vaxe réel ( ' ). 

Par exemple, appliquée à Y(^z)^=^\Jv — z^ [F(o) = -hi], la 
série (M^) représente -f- y/i — x pour ^ << i , et — \l x — 1 
pour x'^ \ . 

32. Considérons enfin une fonction harmonique V(^, r, z)^ 
uniforme et régulière dans tout l'espace sauf en certains points où 
elle devient infinie algébriquement (ou moins rapidement qu'une 
fonction algébrique). La série (Mo)^ étendue à trois variables, 
converge absolument vers V(jr, y^ ^), dans tout l'espace réel, 
sauf aux points singuliers; elle converge uniformément dans tout 
domaine intérieur à l'étoile; elle est dérivable terme à terme indé- 
finiment (sauf aux points singuliers) et les séries dérivées ont les 
mêmes propriétés que la série elle-même. 

(') On peut morne former des exemples où la série (M^) jouit de toutes les 
propriétés énoncées, et de plus converge absolument et uniformément, ainsi que 
les séries dérivées, sur tout segment de l'axe réel (le point x^=\ compris); la 
fonction réelle G(^) a donc des dérivées de tout ordre quel que soit x, mais, 
pour 07 = 1, cette fonction et toutes ses dérivées sont nulles, et la série (M^) 
d'origine x — 1 est identiquement nulle. 



NOTE JI. 



DEMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. \)\U\i: 
Pau iM. IIenhi Lkhksgik. 



Od appelle fonctions de classe i celles qui peuvent être consi- 
dérées comme les limites de suites convergentes de fonctions con- 
tinues. 

Nous dirons qu'une fonction y* est, à moins de t près, déclasse i 
dans un intervalle I (') si l'on j)eul trouver une fonction o de 
classe 1 telle que, pour tous les points de I, on ait 

Nous dirons qu'une fonction/ est, à moins de î près, de classe i 
en nn point P s'il existe un intervalle, contenant au sens étroit le 
point P, dans lequel /^est, à moins de £ près, de classe i. 

Nous dirons qu'une fonction /" est de classe i en un point P si, 
quel que soit £ ))Osilif, j^est de classe i, à moins de £ près, eu P. 

Supposons que Ton convienne de s'occuper seulement des va- 
leurs de f — o pour les points d'un ensemble j)arfait E. Alors les 
définitions précédentes nous font connaître les conditions dans 
lesquelles on dira qu'une fonction est de classe i, à moins de £ 
près, sur E ou qu'elle est de classe i sur E en un point de E. 

Remarquons encore que si la fonction es de comparaison avait 
été supposée continue dans un intervalle, au lieu d'être supposée 
de classe i dans un intervalle, nous aurions eu une définition de 
la continuité en un point déduite d'une définition de la continuité 



(') Toutes les définitions et tous les raisonnements (jui suivent concernent le» 
fonctions d'une seule variable; il suffirait de très légers changements pour les 
rendre applicables au cas général. 



l5o NOTE DE M. LEBESGUE. 

dans lin intervalle (') supposée antérieurement donnée. D'ailleurs 
les raisonnements qu'on va lire sont exactement calqués sur une 
suite de raisonnements permettant de fonder la théorie des fonc- 
tions continues sur la définition de la continuité dans un intervalle, 
et non pas, comme on le fait le plus souvent^ sur la continuité en 
un point. 

T. Toute suite unifomiénient convergente de fonctions de 
classe I Cl pour limite une fonction de classe i (-)• 

Soii f\^ f^-) ..♦ une suite uniformément convergente de fonc- 
tions de classe i , /" sa limite. Soit s, + So + • • • i^ne série con- 
vergente de nombres positifs décroissants. On peut toujours 
trouver np tel que, quel que soit rj positif, on ait 

!/",, /".>^ q\^-p\ 

je suppose de plus que les np croissent avec p. La série 

fn,-^{fn, — fn,) -^ { fn,— fn,) • . - 

est convergente et de somme y*; ses termes sont de classe i, car 
la difïerence de deux fonctions de classe i est une fonction de 
classe I . 

Le p^"^^^^ terme (p^o) est la limite, j)our /' infini, de la suite 
de fonctions continues/"^. Je dis que, pourjo>o, on peut sup- 
poser que, quel que soit /*, on ait Ifoli^p- En effet, si les /^ ne 
satisfont pas à cette inégalité, posons 



F'" -- /*'' 
^ p ~~ J p-> 


quand on a 


- < fr < ■: ■ 


F'" — c 


quand on a 


./ p= '■pi 


F'' — -i- £ 

^ p— ' ^P1 


quand on a 


z < fr 
-P-J P' 



Les F'_ ont même limite que lesy^, car la limite de ceux-ci ne 



(') Celle de la page 27 ou toute autre équivalente, celle-ci par exemple : une 
fonction est continue dans un intervalle si on peut l'y représenter par une série 
uniformément convergente de polynômes. 

(^) D'après la définition adoptée les fonctions continues sont des fonctions de 
classe i.Si, comme le fait M. Baire, on excluait de la classe i les fonctions con- 
tinues, il faudrait, dans cet énoncé et dans les suivants, remplacer /o^c^ion de 
classe I par fonction continue on de classe i. 



DEMONSTRATION I) LN TIlEOREMi: DK M. nVIIU;. 



i5i 



surpasse pas Zf, en valeiii* absolue, donc on peut rennpiacer lesy^ 
par les F'^ qui satisfont à tontes les conditions indiquées, 
l^esy^ étant choisies comme il vient d'être dit, posons 

La série cp,. est absolument et uniformément convergente, ses 
termes sont des fonctions continues, la fonction '^^ est continue. 
Mais co;. tend vers/^, quand r croît, car les ^ premiers termes de '^^ 
ont une somme qui tend versy„^ et les suivants ont une somme au 
plus égale en valeur absolue à s^H- £^^, -]-.... 

Ceci démontre le théorème. 

Considérons des intervalles Ij , L, . . . , en nombre fini ou dénom- 
brable et des fonctions de classe i f\ifi^ . .., définies respecti- 
vement dans ces intervalles, extrémités j^ comprises. J'appelle /* 
la fonction égale h^f^ dans I,, 3/2 dans la partie de L extérieure 
à I, , à j^a dans la partie de I3 extérieure à I, -|- lo, etc., je dis que/* 
est de classe 1. Soit^' ,/"",, . . ., une suite de fonctions continues 
tendant vers fp. Pary^je désigne une (onction continue assujettie 
aux seules conditions d'être égale à /'^ dans I,, à /^^ pour les 

points de lo qui sont distants de - au moins de ceux de 1,, à y*^ 
pour les points I3 qui sont distants de - au moins de ceux de 

I, + I2, .... /'' tend vers /", quand r augmente indéfiniment, 
donc/ est de classe i dans I, -j- L H- . . . . 

Supposons maintenant que cp soit, à moins de £ près, de classe i, 
dans chacun des intervalles Ii, lo, • • •• Cela veut dire qu'on peut 
trouver les fonctions de classe i y,, f.^, ..., définies dans I,, 
lo, . .., et diflerant de o de moins de £, donc diffère de la 
fonction y*, formée comme il vient d'être dit, de moins de £ 
dans T, + lo H- . . . , et par suite cp est, à moins de £ près, de classe i 
dans I, H- L + ... 

D'après le théorème de M. Borel, démontré page 9, dire 
qu'une fonction / est, à moins de s près, de classe i en tous les 
points d'un intervalle 1, extrémités y comprises, c'est dire que 1 
est la somme d'un nombre fini d'intervalles dans lequel y' est de 
classe I, à moins de £ près. Donc : 



II. Si une /onction est, à moins de s près, de classe i en tous 



l5'l NOTE DE M. LEBESGUE. 

les points cV an inlervalle, elle est, à moins de z près, de 
classe I dans cet intervalle. 

D'ailleurs, d'après I, une fonction est de classe i dans un inter- 
valle si, quel que soit s positif, elle est de classe i, à moins de 
£ près, dans cet intervalle; car elle est alors la limite d'une suite 
uniformément convergente de fonctions de classe i, donc : 

III. Si une fonction est de classe i en tous les points d'un 
intervalle, elle est de classe i dans cet intervalle. 

Ces deux théorèmes sont encore exacts lorsqu'on ne sait rien 
relativement aux extrémités a et 6 de l'intervalle considéré. 

Modifions, en effet, la fonction donnée f en lui donnant la 
valeur constante f{a) de — oo à a et la valeur constante f{b) 
de ^ à -f- co, elle est alors de classe i dans les deux intervalles 
(—00, a), {h, +oc). 

Si nous suj)posons qu'elle est de classe i, à moins de £ près, 
en tous les points intérieurs à (a, b)^ cela ne sera pas changé par 
la modification indiquée. Du théorème de M. Borel on déduit 
facilement que l'ensemble des points intérieurs à [a, h) est 
l'ensemble somme d'une infinité dénombrable d'intervalles dans 
chacun desquels y est, à moins de £ près, de classe i. 

L'intervalle ( — co, +gc) est donc la somme d'une infinité 
dénombrable d'intervalles dans chacun desquels, après la modifi- 
cation, y^ est de classe i, à moins de £ près; dans ( — oc, + oo), 
après la modification, /"est de classe i, à moins de t près; avant la 
modification, /était de classe i, à moins de £ près, dans («, b)\ 
c'est la [)roposition II, d'où Ton déduit la proposition III. 

Des théorèmes II et Hl ainsi complétés, il résulte que l'en- 
semble des points eu lesquels une fonction donnée /* n'est pas de 
classe I ne contient aucun point isolé et que, de même, l'en- 
semble E des points où /"n'est pas de classe i, à moins de £ près, 
ne contient aucun ]^oint isolé. Par définition f ne peut être de 
classe I, à moins de £ près, en un point V sans qu'il en soit de 
même j)our tous les points assez voisins de P; le complémentaire 
de E ne peut donc contenir aucun point limite de E, c'est-à-dire 
que E est fermé, par suite : 

\\ . L'ensemble E des points en lesquels une fonction donnée f 



DEMONSTRATION D UN THKOREMK F)i: M. MAIRE. IJ> 

n'est pas de classe i , à moins de t piès, est un ensemble parfait. 
Je vais mainlenant démontrer la propriété suivante : 

V. La fonction f est discontinue sur E en tout point de E ( ^ ). 

Soient II , I2, • • . , l<'S intervalles contigus à E ; d'après II, f est 
de classe i, à moins de z près, dans cliacun d'eux. Soit '^^ une 
fonction de classe i limite, pour /• infini, de la suite convergente 
des fonctions continues '^^ et dilïérant de/*, dans 1^, de moins de z. 
Si /('tait continue sur E, en un point M de E, la fonction ca égale 
à cp^j dans \p et à /(M) sur E différerait de /" de moins de s dans 
un certain intervalle contenant M à son intérieur. En M, y n'est 
pas de classe i, à moins de £ près; il suffira donc de démontrer 
que cp est de classe 1 pour prouver le théorème V. 

J'appelle V l'intervalle ayant même milieu que I;, et tel que 



longueur I,, = longueur I^j-î 



J'appelle ce'" une fonction continue assujettie aux seules condi- 
tions d'être égale à f\ dans l'J, à /^ dans I!J, . . . , à /J! dans IJ! et 
à ./(M) à l'extérieur de 1, + L -+-... + 1/ . o est la limite, pour 
;• infini, de o^; le théorème est démontré. 

J'arrive maintenant au théorème de M. Baire (-). 

VI. Pour qu' une fonction soit de classe i il faut et il suffit 
qu'elle soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble par- 
fait. 

La condition est suffisante. Siy*n'est pas de classe i,/* n'est 
pas de classe i, à moins de s près, si s est assez petit, d'après I. 
D'après II, il existe alors des points o\x f n'est pas de classe i, à 
moins de s près; d'après IV et V l'ensemble E de ces points est 
parfait et/ est totalement discontinue sur E. 

La condition est nécessaire {^). Soit f àe classe i, limite des 
fonctions continues f^, /"o, f^^ .... J'appelle E;,^^ l'ensemble 

(^) D'une façon plus précise, en aucun point de E, / n'est de classe i, à moins 
de e pi-ès, sur E. 

(■-) Voir Baire, Comptes rendus, 21 mars 1898 et Thèse, Annali di Matema- 
tica, 1899; Lei5i:sgue, Comptes rendus, 27 mars 1S99; Baiuk, Bulletin de la 
Société mathématique de France, 1900. 

(^) La démonstration qui suit ditVère sensiblement de celle de AI. Baire. 
mais la plupart des raisonnements qui y sont employés lui sont dus. Cette 
démonstration a élé obtenue indépendamment par M. Paul Montcl et par moi. 



Ij4 >0TE de m. LEBliSGLE. 

fermé des points |)Oiir lesquels on a \fn — f,i^p\i^- E étant un 
ensemble parfait quelconque, donné arbitrairement, j'appelle E;^ 
l'ensemble des points communs à la fois à E, à E„ , , à E;^ o, • • • • 
E;i, étant l'ensemble commun à une infinité dénombrable d'en- 
sembles fermés, est fermé. E est la somme des E;^ ; je dis que l'on 
peut prendre n assez grand pour qu'il existe un intervalle I conte- 
nant des points de E et tel que tous les points communs à I et E 
appartiennent à E„ (*). Si cela n'était pas, dans tout intervalle 1 
contenant des points de E on pourrait, quel que soit n^ trouver 
un point de E n'appartenant pas à E^^ et, puis(jue E„ est fermé, un 
intervalle contenant des points de E sans contenir de points de E/^. 
Or soit I| un intervalle contenant des points de E et pas de points 
de E<, soit I2 un intervalle, intérieur à T,, contenant des points 
de E et pas de points de E2, etc. On ne peut |)as continuer ainsi 
indéfiniment, sans cela, à l'intérieur de 1,, lo, ..., existerait au 
moins un point de E qui n'appartiendrait ni à E,, ni à Eo, .... 
Par suite on peut trouver I, contenant des points de E, et n de 
manière que, dans I, E et E;^ soient identiques. ])ans I, y et /„ 
diffèrent de £ au plus; si V est choisi intérieur à I, contenant des 
points de E, et assez petit pour que, dans F, l'oscillation àefn^o\l 
inférieure à s, l'oscillation de/ sur E, dans F, est inférieure à 3e. 

Ceci posé, lo étant choisi arbitrairement, contenant des points 
de E, nous pourrons choisir I^, intérieur à f^_i, contenant des 
points de E, et tel que, dans \p^ l'oscillation de y sur E soit infé- 
rieure à 3 t /?. A l'intérieur de tous ces intervalles lo, Ij, •••, 
existe au moins un point de E ; en ce point f est continue sur E. 

En terminant, j'indique une propriété qu'on peut parfois invo- 
quer pour démontrer qu'une fonction est de classe i (-). 

VIF Pour cju une fonction f soit de classe i, il faut et il 
suffit cjuc, quel que soit z positif , V intervalle que V on considère 
soit la somme dUine infinité dénombrable d' ensembles fermés 
sur chacun desquels f est continue, à t près. 

La condition est nécessaire. En effet si, dans la démonstration 

(') Ici, cL dans la suite, il s'agit de points contenus, ou sens étroit, dans les 
intervalles indiques. 

(2) Pour plus de détails voir une Note qui paraîtra prochainement dans le 
Bulletin de la Société mathématique de France. 



I 



DEMONSTRATION D UN TIIEOHLMK l)K M. IIUFU:. Ibt 

précédente, E est l'intervalle considéré, cet intervalle est la somme 
des 'En et, sur E^, f cl fa didèrcnl de £ au plus. 

La condition est suffisante. [Vjur le voir directement supposons 
que l'intervalle considéré soit la somme des ensembles fermés E„ 
et que, sur J%, /' dlfl'ère de £ au plus de la fonction continue /„. 
Je prends un ensemble dénombrable D„ de poinis partout dense 
sur E/î en ayant soin d'y faire fijj;urer les extrémités des intervalles 
contigus à E„ ('). Je barre ceux de ces jjoints qui ap[)arliennent 
à E, -f- E2H- . . . -H En_i et je range les autres en suite simplement 
infinie, la suite A;i(M^*^, iMj^, •••)' d'ailleurs, si un point xM a été 
barré de Dn parce qu'il appartient à En'{n' <C n), j'ai eu soin de 
faire figurer M dans D^'. 

Je vais construire une fonction continue F^. Pour cela je prends 
le point MJ,, au moins les p premiers points de Ay,_,, au moins 
les p premiers points de A^_2, et ainsi de suite. Je prends dans 
chacune de ces suites assez de points pour que, si M^^. est pris, 
auquel cas, faisant partie de A/f, il ne fait pas partie de E/f_,, les 
deux extrémités de l'intervalle contigu à E/f_, et contenant M^^., 
qui font partie de l'une des suites A/^_,, A/f_2, ..., A,, soient 
prises aussi. La fonction continue F^ est définie par la condi- 
tion d'être linéaire entre deux des poinis ainsi choisis et, si M^^ a 
été choisi, d'être en ce point égale à //( (M^). 

Cherchons la limite de F^, quand p augmente indéfiniment. Si 
R appartient à l'une des suites A, il est évident que F^(R) tend 
vers y*„^(R), /Iq étant le plus petit indice correspondant à un 
ensemble E/^ contenant R. Il en est encore de même si R n'appai- 
tient à aucune suite A; car, dès que p est assez grand, les deux 
poinis servant à la définition de F^, et contenant entre eux R sont 
deux points S, T de A„^. Fp(R) est dès lors comprise entre/„^(S) 
ety„^(T), quantités qui tendent, quand p augmente, versy„^(R) 
car J„^ est continue et S et T tendent vers R. 

La suite des F^ est convergente, sa limite F diffère de la fonc- 
tion y* de £ au plus, donc /^est, à £ près, de classe i . Puisque £ est 
quelconque, il résulte de I que/ est de classe i. 

(') A cause du rôle joué par les inlcrvalles contigus, celte dénionslration ne 
s'applique pas immédiatement au cas de plusieurs variables. 



NOTE III. 

SUR L'EXISTENCE DES FONCTIONS DE CL\SSE QUELCONQUE. 

Par m. Emile Borel. 



On peut se demander si la classification de M. Baire n'est pas 
purement idéale, c'est-à-dire sHl existe effectivement des fonc- 
tions dans les diverses classes définies par M. Baire. Il est clair, 
en effet, que si l'on prouvait, par exemple, cpie toutes les fonctions 
sont de classe o, i, 2 ou 3, la plus grande parlie de la classifica- 
tion de M. Baire serait sans intérêt. Nous allons voir qu'il n'en 
est rien; mais il est tout d'abord nécessaire d'insister un peu sur 
ce que l'on doit appeler une fonction définie ('). 11 est, en effet, 
aisé de voir qu'il existe des fonctions de classe supérieure à un 
nombre quelconque (fini ou transfini) donné d'avance; car l'en- 
semble E des fonctions dont la classe ne dépasse pas un nombre 
donné a évidemment la puissance du continu; et l'ensemble F 
de toutes les fonctions possibles a une puissance supérieure à celle 
du continu (-); l'ensemble F est donc infiniment plus riche que 
l'ensemble E, c'est-à-dire renferme une infinité de fonctions qui 
n'appartiennent pas à E. Mais ce raisonnement basé sur les puis- 
sances a un grave défaut : il nous apprend bien qu'il j a des fonc- 
tions de F qui n'appartiennent pas à E, mais il ne nous donne 
pas le moyen d'en définir une, c'est-à-dire d'en désigner une de 
telle manière qu'on puisse la distinguer des autres; en d'autres 
termes de manière que deux personnes différentes, lorsqu'elles 
parlent de cette fonction, soient certaines qu'elles parlent de la 
même. 

Le raisonnement précédent ne permet pas d'exclure l'hypothèse 
où un théorème toi que le suivant serait exact : toute fonction 

(') Voir mes Leçons sur la tliéorie des fonctions, Notes II et III. 
( -) Loc. cil. 



SUR L EXISTENCE DliS FONCTIONS DE CLASSE yUELCONQLE. 1*7 

effectivement définie est nécessairement de classe o, 1,2 ou 3. 
Nous allons, au contraire, montrei' (|u'ii est possible de définir 
efFectivemenl une fonction dont la classe dé[)asse un nombre donné 
d'avance. 

D'ailleurs, cette définition exigera en général des opérations 
transcendantes pratiquement inexécutables; on sait que cette diffi- 
culté se présente presque toujours lorsqu'il intervient des j)ro- 
cessus infinis : séries ou intégrales 

Voici comment on peut définir une fonction de classe supé- 
rieure à deux; le même raisonnement s'appliquerait à une classe 
quelconque. Posons 

Y=o 
Toute série double de poljnomes peut être écrite sous la forme 



(0 



2 ^"^^.^i^) 



Si dans un certain intervalle la série (i) converge, elle définit, 
dans cet intervalle, une fonction de classe O;, i, ou 2; et toute 
fonction de classe o, i ou 2 peut être définie de celte manière par 
un choix convenable des Ca,p,y (chaque fonction est même définie 
d'une infinité de manières, mais cela n'a pas d'inconvénient pour 
ce qui suit). 

On peut, au Tableau des constantes Ca,p,y, faire correspondre 
d'une manière univoque un nombre Uu compris entre o et i ; c'est- 
à-dire s'arranger de manière qu'à ^om^ nombre Un corresponde un 
système de constantes Ca,p,y et à tout système de constantes un 
nombre Un-, deux nombres distincts correspondant à deux sys- 
tèmes distincts, et réciproquement. Une telle correspondance peut 
être réalisée d'une infinité de manières différentes; mais, parmi 
cette infinité de manières, nous pouvons en choisir une bien 
déterminée (^). Ceci fait, nous allons définir une fonction /'(j:), 
dans l'intervalle o — i , de la manière suivante : soit w„ une valeur 
quelconque de x comprise entre o et i ; formons la série (i) qui 



( ' ) Voir mes Leçons sur la théorie des fonctions, Chap. I. 



l58 NOTE DE M. BOREL. 

correspond à Un d'après la correspondance précédemment réalisée ; 
si pour X = Un la série (i) ainsi formée diverge, ou si elle converge 
et a une somme différente de zéro, nous poserons 

f{iin) = o; 

si pour X = lin la série (i) correspondant à x converge et a pour 
somme zéro, nous prendrons 

Il est clair que la fonction f{x) que nous avons ainsi définie 
dans l'intervalle o — i n'y coïncide avec aucune fonction de 
classe o, i , 2. Car une telle fonction, définie dans l'intervalle o — i , 
est représentable par une série (i) convergente pour toutes les 
valeurs de x comprises entre o et 1 . Supposons, pour un instant, 
que la fonction f{x) puisse être représentée par une telle série et 
soit Un le nombre qui correspond au système des coefficients 
Ca,8,Y de cette série; pour x =^ Un\^ série converge, puisque Un est 
compris entre o et i ; or, si la somme de la série est différente de 
7éro, on a/(un) = o et, si la somme de la série est égale à zéro, on 
aif(un)=^ I . Il y a donc contradiction et nous avons établi le 
résultat que nous avions en vue : il est possible de définir effecti- 
vement une fonction déterminée dont la classe, dans la classifica- 
tion de M. Baire, soit supérieure à un nombre quelconque 
donné d'avance (^ ). 

(' ) La démonstration précédente prouve simplement que la classe de la fonc- 
tion définie est supérieure à 2, mais n'exclut pas la possibilité que cette classe 
soit un nombre transfini (ou même, à la rigueur, que la fonction définie soit 
au delà de toute classification, bien que ce ne soit guère vraisemblable). M. Le- 
besgue, à qui j'ai communiqué celte démonstration, a pu, en la modifiant et la 
complétant, en déduire la définition d'nue fonction déterminée de classe 3; sa 
démonstration paraîtra prochainement dans le Journal de M. Jordan. 



TAULE DES MATIÈRES. 



l'agett. 

PlîÉFACi: V 

Index ix 

CiiAPiTHE I. — Notions générales si'r lks ensembles i 

Puissance d'un ensemble i 

Ensembles de points 3 

SU'ucture des ensembles parfaits linéaires 6 

Ensembles mesurables iG 

Ensembles de première catégorie 21 

Chapitre II. — iNotions sur la continuité )3 

Oscillation en un point 23 

Fonctions ponctuellement discontinues 26 

Continuité uniforme 27 

Nombres dérivés a8 

Intégrale 29 

Généralisation de M. Lebesgue 3i 

Chapitre III. - Séries de fonctions réelles 36 

Continuité de la série 37 

Convergence uniforme 38 

Convergence quasi-uniforme !\i 

Intégration des séries 4^ 

Chapitre IV. — Heprésentation des fonctions continues par des séries 

DE POLYNOMES 5o 

Théorème fondamental de Weierstrass 5o 

Métliode de Weierstrass 5c 

Autres démonstrations 55 

Méthode de M. Vol terra 56 

Méthodes élémentaires 57 

Extension aux fonctions de plusieurs variables Gi 

Représentation des fonctions dérivables 66 

Méthodes d'interpolation. Formule de Lagrange 74 

Formule générale d'interpolation 79 

Méthode d'approximation de Tchebichell" 82 

•Chapitre V. — Représentation des fonctions discontinues par des séries 

DE polynômes .' 93 

Fonctions discontinues en des points isolés 94 

Fonctions dont les discontinuités forment un ensemble dénom- 

brable E 94 

Théorème général de M. Raire 98 

Classification de M. Baire 99 



l6o TABLE DES MATIÈRES. 

Pages. 

Note I. — Sur lk dkvkloppemext des fonctions analytiques, par M. Paul 

PaINLEVE ICI 

1. Séries génératrices ici 

2. Étoile d'iiolomorphie loi 

3. Étoile dholomorphie atlacliée à une fonction de plusieurs va- 

riables io3 

4. Application au domaine réel io5 

5. Formation théorique d'une série génératrice normale io6 

7. Remarque sur les séries ainsi formées 109 

8. Convergence de ces séries 109 

9. Des séries intermédiaires 112 

10. Formation explicite d'une série génératrice normale ... ii4 

13. Remarques sur le développement précédent 122 

14. Transformations d'une série génératrice 124 

16. Transformations imaginaires. Étoile curviligne 12 j 

17. Exemples 128 

19. Étoile curviligne attachée à une fonction multiforme i3i 

21. Extension des résultats précédents i33 

23. Application aux fonctions réelles i36 

26. Séries ( M ) convergeant sur les droites frontières i^o 

30. Quelques applications des résultats précédents i^~ 

Note II. — Démonstration d'un théorème de M. Baire, par M. Henki 

Lebesgue i49 

Note III. — Sur l'existence des fonctions de classe quelconque, par 

M. Emile Borel i56 



FIN DE LA TABLE DES MATIERES. 



3V72Ô Taris. — linpiiiuerie GaL IHIEU VILLAUS, (juai des Graruls-Augustins, 5j. 







Bo.rel 

Leçons sur les fonctions 
. de variables reeles et les 
développements en séries de 
polynômes 



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DEPT. OF MATHEMATICS 

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i.iBKAlKIE GAUTIHEU-VILLAKS ETC^ 

QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55, A PARIS (6'). 



{Augmentation de lo "/o sur les prix marques.) 

BOREL (Emile), Professeur de Théorie des Fonctions de l'Université 

Paris. ~ Collection de monographies sur la Théorie des fonctioj 

publiée sous la direction d'EMiLE Borel. Volumes in-8 (25-i6), 

vendant séparément. 

Leçons sur la théorie des fonctions Eléments et principes de la théoi 
des ensembles; applications à la théorie des fonctions ), par Emile Bore 
2* édition, 1914.. • 7 fr. 5o^ 

Leçons sur les fonctions entières, par Emile Borbl; 1900.. 3 fr. ^o 

Leçons sur les séries divergentes, par Éhile Borel; 1901 .. 4 fr, 5o 

Leçons sur les séries à termes positifs, professées au Collège de France ' 
Emile Borel, recueilliesetrédigéespar/îo^<?r/ d'Adhémar;\^o'?.. 3 fr. Soi 

Leçons sur lès fonctions méroniorphes , professées au Collège de France 
Emile Borel, recueillies et rédigées par LM^o«cZorc//«; 1903.. 3 fr. 5o' 

Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, profei 
sées au Collège de France, par Henri Lebesgue ; 1904 3 fr. 5o fc. 

Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements an 
séries de polynômes, professées à l'Ecole Normale supérieure par Emile 
Borel et rédigées par Maurice Fréchet, avec des Notes par Paul Painllvb 
et Henri Lebesgue; 1903 4 fr- 5o • , 

Leçons sur les fonctions discontinues., professées au Collège de Fran e 
par René Bvire, rédigées par A. Denjoy; 1905 3 fr. 5o i . 

Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, i^ir 
ErnstLindelof; 1905 3 fr. 5o . 

Leçons sur les séries trigonométriques, professées au Collège de Frai 
par Henri Lebesgue; 1906 3 fr. 5( 

Leçons sur les fonctions dé fr nies par les équations différentielles /' 
oremier ordre, professées au Collège de France par Pikrre Boutrûi \. 
Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Montpellier; avec ime 
Notice de Paul Painlkvé ; 1908 6 fr 5o c. 

Principes delà théorie des fonctions entières d'ordre infini, par Otto 
Blumenthal ; 1910 5 fr. 5o c 

Leçons sur la théorie de la croissance, professées à la F" des Sclen -^s 
de Paris, par É. Bohkl, rédigées par À. Denjoy; 1910 5 fr. 5o • 

Leçons sur les séries de polynômes à une variable complejccy par Pi 
Montel; 1910 , 3 fr. 5t 

Leçons sur le prolongement analytique, professées au Collège de Frai; 
par Ludovic Zoretti; 191 1 ' 3 fr. 76 

Leçons sur les singularités des fondions analytiques., professées àl'l 
versité de Budapest, par Paul Dienes; 1913 5 fr. 5i 

leçons .Kur les éauations intégrales et les équations intégrodi: 
rentielles, professées a la F" des Sciences de Rome en 1910 par Vito Y- 
terra et publiées par M. Tomasseti et F.-S. Zarlatti ; 1913. 3 fr. :m 

Leçons sur les fonctions de lignes, professées à la Sorbonne en 19 î. 
l)ar Vito Voltkrra, recueillies et rédigées, par J. Perès; 191 3. 7 fr. :>< 

T^es systèmes d'équations linéaires à une in fini te d'inconnues ; 1 r 
F. Riesz; 1913 6 fr. 5. 

Intégrales de Lebesgue. Fonctions d'ensemble. Clas.<!e.-< de Baire. Lèç 
profoRsées au Collège de France par C. de la Vallée Poussin, Profes- 
à l'Université de Louvain, Membre correspondant de l'Institut de Frai; 
19 16 

Leçons sur les fonctions monogènes uniforfnes d'une variable ce 
par Emile Borel rédigées pa^r G. Julia; 1917 - f •